Calcule as derivadas parciais a seguir:
partial fpartial s, partial fpartial r ; f(x, y, z)=x y+z^2, x=s^2, y=2 r s, z=r^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial fpartial s e partial fpartial r de
f(x,y,z)=xy+z^2,
onde
x=s^2, y=2rs, z=r^2
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis compostas por outras.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f em relação a x, y e z:
fx = partialpartial x(xy+z^2)=y,
fy = partialpartial y(xy+z^2)=x,
fz = partialpartial z(xy+z^2)=2z

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial fpartial s:
partial fpartial s = fx,partial xpartial s + fy,partial ypartial s + fz,partial zpartial s
Como
partial xpartial s=2s, partial ypartial s=2r, partial zpartial s=0,
substituindo fx=y=2rs, fy=x=s^2 e fz=2z=2r^2 temos
partial fpartial s = (2rs)cdot(2s) + (s^2)cdot(2r) + (2r^2)cdot0 =4r s^2 +2r s^2 =6r s^2

Passo 4

De modo análogo, para partial fpartial r usamos
partial fpartial r = fx,partial xpartial r + fy,partial ypartial r + fz,partial zpartial r
Aqui
partial xpartial r=0, partial ypartial r=2s, partial zpartial r=2r
Logo, com fx=y=2rs, fy=x=s^2 e fz=2z=2r^2, obtemos
partial fpartial r = (2rs)cdot0 + (s^2)cdot(2s) + (2r^2)cdot(2r) =2s^3 +4r^3

Resposta

partial fpartial s=6r s^2, partial fpartial r=2s^3+4r^3

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