Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor L x di/dt no resistor i R é igual à voltagem aplicada no circuito E(t), portanto L x d i / d t+i R=E(t).
Uma bateria de 12 Volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é L=1 / 2 henry (H) e a resistência é de R =10 ohms. Determine a corrente i(t) em ampéres(A) se a corrente inicial for zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito em série que inclui um resistor e um indutor, e uma bateria de 12 volts está ligada a ele. Os valores são: indutância L = 12 henry e resistência R = 10 ohms. Queremos descobrir como a corrente i(t) varia com o tempo, sabendo que inicialmente a corrente era zero. Para isso, vamos usar a Lei de Kirchhoff das Tensões e resolver uma equação diferencial básica de circuitos RL.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve esse circuito. Segundo a Lei de Kirchhoff, a soma das quedas de tensão no indutor e no resistor é igual à tensão da bateria. Isso fica assim:
L didt + i R = E(t)
Onde:
  • L é a indutância,
  • R é a resistência,
  • i(t) é a corrente no tempo,
  • E(t) é a tensão da bateria.

Passo 3

Substituindo os valores que temos na equação:
12 didt + 10i = 12
Agora, nossa missão é resolver essa equação para encontrar i(t).

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixá-la mais fácil de resolver:
didt + 20i = 24
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 5

O fator integrante ( mu(t)) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t),dt
Onde P(t) é o coeficiente de i na equação. No nosso caso, P(t) = 20. Então:
mu(t) = e^20t

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^20t didt + 20 e^20t i = 24 e^20t
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto i(t) e^20t.

Passo 7

Reescrevendo, temos:
ddt ( i e^20t ) = 24 e^20t
Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
i e^20t = integral 24 e^20t dt + C

Passo 8

Integrando o lado direito:
integral 24 e^20t dt = 2420 e^20t + C = 65 e^20t + C
Então:
i e^20t = 65 e^20t + C

Passo 9

Agora, isolamos i(t) dividindo ambos os lados por e^20t:
i(t) = 65 + C e^-20t

Passo 10

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial: quando t = 0, i(0) = 0.
Substituindo na equação:
0 = 65 + C e^0
0 = 65 + C
C = -65

Passo 11

Agora, substituímos C de volta na equação de i(t):
i(t) = 65 - 65 e^-20t
Podemos fatorar 65:
i(t) = 65 (1 - e^-20t)

Resposta

A corrente no circuito em função do tempo é:
i(t) = 65 (1 - e^-20t) ampères (A) è

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