Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor
di/dt no resistor
é igual à voltagem aplicada no circuito
, portanto
.
Uma bateria de 12 Volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é
henry
e a resistência é de
ohms. Determine a corrente
em ampéres(A) se a corrente inicial for zero.
Uma bateria de 12 Volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito em série que inclui um resistor e um indutor, e uma bateria de 12 volts está ligada a ele. Os valores são: indutância
henry e resistência
ohms. Queremos descobrir como a corrente
varia com o tempo, sabendo que inicialmente a corrente era zero. Para isso, vamos usar a Lei de Kirchhoff das Tensões e resolver uma equação diferencial básica de circuitos RL.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve esse circuito. Segundo a Lei de Kirchhoff, a soma das quedas de tensão no indutor e no resistor é igual à tensão da bateria. Isso fica assim:
Onde:
-
é a indutância, -
é a resistência, -
é a corrente no tempo, -
é a tensão da bateria.
Passo 3
Substituindo os valores que temos na equação:
Agora, nossa missão é resolver essa equação para encontrar
.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para deixá-la mais fácil de resolver:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 5
O fator integrante (
) é dado por:
Onde
é o coeficiente de
na equação. No nosso caso,
. Então:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
.
Passo 7
Reescrevendo, temos:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 8
Integrando o lado direito:
Então:
Passo 9
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial: quando
,
.
Substituindo na equação:
Passo 11
Agora, substituímos
de volta na equação de
:
Podemos fatorar
:
Resposta
A corrente no circuito em função do tempo é: