Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Diga qual é o raio de convergência: b) f(x)=1(4+2 x)^3

Passo 1

O enunciado pede para usar a série binomial de (1+t)^alpha para expandir
f(x)=1(4+2x)^3
como série de potências em x e determinar o raio de convergência. Vamos precisar lembrar que, para alphainR,
(1+t)^alpha=sumn=0^inftybinomalphan,t^n,
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a isolar uma parte do tipo (1+t)^alpha. Observe que
4+2x = 4l(1+tfracx2r),
logo
(4+2x)^3 = 4^3,l(1+tfracx2r)^3 = 64,l(1+tfracx2r)^3
Isso dá
f(x)=164,l(1+tfracx2r)^-3

Passo 3

Aplicamos a fórmula da série binomial com alpha=-3 e t=tfracx2:
l(1+tfracx2r)^-3 =sumn=0^inftybinom-3n,l(tfracx2r)^n
Sabendo que
binom-3n =(-3)(-4)cdots(-3-n+1)n! =(-1)^n,(n+2)(n+1)2, 1n!,n! =(-1)^nbinomn+2n,
temos
l(1+tfracx2r)^-3 =sumn=0^infty(-1)^nbinomn+2n,x^n2^n
Multiplicando por tfrac164, obtemos
f(x) =sumn=0^infty(-1)^nbinomn+2n,x^n64cdot2^n =sumn=0^infty(-1)^nbinomn+2n,x^n2^n+6

Passo 4

Para saber o raio de convergência, note que esta expansão é válida enquanto l|tfracx2r|<1, ou seja
|x|<2
Logo o raio de convergência é R=2.

Resposta

1(4+2x)^3 =sumn=0^infty(-1)^nbinomn+2n,x^n2^n+6, R=2

Exercícios relacionados