P(x)=x^3-4 x^2+2 x-1, é correto afirmar
a) É divisível por ( x-1 ).
b) Possui uma raiz real.
c) O produto de suas raízes é igual a 2.
d) Quando dividido por ( x+2 ), deixa resto igual a -5.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^3-4x^2+2x-1
e pede para verificar quatro afirmações usando ferramentas como o Teorema do Resto, o Teorema Fundamental da Álgebra (para existência de raízes) e as fórmulas de Viète (para relação entre coeficientes e raízes).

Passo 2

Para a afirmação (a) “É divisível por (x-1)”, aplicamos o Teorema do Resto: o resto da divisão por (x-1) é
P(1)=1^3-4cdot1^2+2cdot1-1=1-4+2-1=-2neq0
Como o resto não é zero, não é divisível por (x-1).

Passo 3

A afirmação (b) “Possui uma raiz real” decorre do fato de que qualquer polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real (Teorema Fundamental da Álgebra combinado com o comportamento em pminfty). Logo, essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Para a afirmação (c) “O produto de suas raízes é igual a 2”, usamos Viète: se as raízes são alpha,beta,gamma, então
alphabetagamma = -da = --11=1neq2
Portanto, essa afirmação é falsa.

Passo 5

Na afirmação (d) “Quando dividido por (x+2), deixa resto igual a –5”, de novo o Teorema do Resto dá
P(-2)=(-2)^3-4(-2)^2+2(-2)-1=-8-16-4-1=-29neq-5
Logo, essa afirmação também é falsa.

Resposta

b) Possui uma raiz real.

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