• Q3. Um circuito L-R-C em série possui C=4,0 \mu \mathrm{~F}, L=0,630 \mathrm{H} e amplitude de tensão na fonte V. A fonte opera na frequência de ressonância do circuito. Se a tensão no capacitor possui amplitude 80,0 \mathrm{~V}, qual é o valor de R para o resistor no circuito?
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}} \quad V_{L}=I X_{L}=I \omega L \quad V_{C}=I X_{C}=\frac{I}{\omega C} \quad V_{R}=I R

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série L!– R!– C com
C = 4{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{F}, \quad L = 0{,}630\,\mathrm{H},
operando na frequência de ressonância \omega_0. Nessa condição, a impedância total é puramente resistiva ( Z=R) e a amplitude da tensão no capacitor é
V_C = 80{,}0\,\mathrm{V}.
Precisamos achar R.

Passo 2

Em ressonância vale
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},
as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam, e a corrente no circuito é
I = \frac{V}{R},
onde V é a amplitude da tensão da fonte.

Passo 3

Também em ressonância a reatância do capacitor é
X_C = \frac{1}{\omega_0 C}
e a tensão no capacitor satisfaz
V_C = I\,X_C = \frac{V}{R}\,\frac{1}{\omega_0 C}.
Dessa relação isolamos R:
R = \frac{V}{V_C}\,\frac{1}{\omega_0 C}.

Passo 4

Substituindo \omega_0 = 1/\sqrt{LC} em 1/(\omega_0 C) obtém-se
\frac{1}{\omega_0 C} = \sqrt{\frac{L}{C}}.
Logo
R = \frac{V}{V_C}\,\sqrt{\frac{L}{C}}.

Passo 5

Se admitirmos que a amplitude da fonte V coincide numericamente com V_C=80{,}0\,\mathrm{V} (caso comum em problemas tipo “magnificação unitária”), então
\frac{V}{V_C} = 1 \quad\Longrightarrow\quad R = \sqrt{\frac{L}{C}} = \sqrt{\frac{0{,}630}{4{,}0\times10^{-6}}} \approx 397\\ \Omega.

Resposta

R \approx 3{,}97\times10^{2}\,\Omega.

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