Um circuito RL série recebe um sinal de entrada AC cuja amplitude vale \mathrm{V}_{0} e com uma frequência angular variável \omega. A saída do circuito corresponde à queda de tensão no resistor.
(a) [1,0 pt] Calcule a impedÂncia equivalente do circuito colocando o resultado na forma polar.
(b) [1,0 \mathrm{pt}] Determine a função de transferência do circuito, ou seja, escreva a função que descreve como o valor médio da potência dissipada no resistor depende da frequência \omega.
(d) [0,5 \mathrm{pt}] \mathrm{O} circuito possui um comportamento de passa alta ou passa baixa? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com um resistor e um indutor conectados em série, alimentados por uma tensão AC com amplitude \mathrm{V}_{0} e frequência angular variável \omega. A saída é a queda de tensão no resistor. As perguntas são:
  • (a) Calcular a impedância equivalente do circuito em forma polar.
  • (b) Determinar a função que descreve como o valor médio da potência dissipada no resistor depende de \omega.
  • (d) Dizer se o circuito é passa-alta ou passa-baixa e justificar.
Informações relevantes dadas:
  • Resistor de valor R (real).
  • Indutor de indutância L.
  • Fonte senoidal de amplitude de pico \mathrm{V}_{0} e frequência angular \omega.
  • Saída: tensão sobre o resistor.

Passo 2

Vamos modelar o circuito no domínio fasorial (é o jeito padrão para AC senoidal). Explico devagar:
  • Em regime senoidal, representamos tensões e correntes por fasores (números complexos) e componentes por suas impedâncias.
  • A impedância do resistor é puramente real: \;Z_R = R\;.
  • A impedância do indutor é puramente imaginária (reatância indutiva): \;Z_L = j\,\omega L\;, onde j é a unidade imaginária e \omega L é a magnitude da reatância.
  • Em série, as impedâncias somam. Logo a impedância equivalente é
Z_{\text{eq}} = Z_R + Z_L = R + j\,\omega L.
Isto é a forma retangular (parte real + j·parte imaginária).

Passo 3

Transformar a impedância retangular para a forma polar (o pedido do item (a)). Para qualquer número complexo a+jb a forma polar é |Z|\angle\varphi onde
  • |Z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} é o módulo,
  • \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right) é o argumento (ângulo) — lembrando o cuidado de usar o quadrante correto; aqui a=R>0 e b=\omega L\ge0, então o ângulo é positivo no primeiro quadrante.
Aplicando isso a \;Z_{\text{eq}}=R+j\,\omega L\; obtemos
|Z_{\text{eq}}|=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}
e
\varphi=\arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right).
Portanto a impedância equivalente em forma polar é
Z_{\text{eq}}=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\;\angle\;\arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right).

Passo 4

Agora vamos achar a função de transferência elétrica (para a tensão no resistor) e a potência média dissipada no resistor. Primeiro a função de transferência complexa (razão de fasores) da tensão no resistor em relação à tensão de entrada:
  • Pela regra do divisor de tensão em série:
H(j\omega)\equiv\frac{V_R}{V_{\text{in}}}=\frac{Z_R}{Z_R+Z_L}=\frac{R}{R+j\,\omega L}.
Isto é a função de transferência em forma complexa. Seu módulo (ganho de amplitude) é
|H(j\omega)|=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}.
Expliquei: V_R é o fasor da tensão no resistor; V_{\text{in}} é o fasor da fonte. O módulo |H| diz quanto da amplitude da fonte aparece no resistor.

Passo 5

Passo para a potência média (item (b)). Regras que vamos usar (explicando como se faz numa prova):
  • A fonte tem amplitude de pico \mathrm{V}_{0}. A tensão eficaz (RMS) da fonte é \;V_{\text{in,rms}}=\dfrac{\mathrm{V}_{0}}{\sqrt{2}}\;.
  • A tensão eficaz sobre o resistor é \;V_{R,\text{rms}}=|H(j\omega)|\,V_{\text{in,rms}}\;.
  • A potência média dissipada no resistor (resistores dissipam potência real) é \;P=\dfrac{V_{R,\text{rms}}^{2}}{R}\;.
Substituindo passo a passo:
V_{R,\text{rms}}=|H(j\omega)|\cdot\frac{\mathrm{V}_{0}}{\sqrt{2}}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\cdot\frac{\mathrm{V}_{0}}{\sqrt{2}}.
Agora
P(\omega)=\frac{V_{R,\text{rms}}^{2}}{R} =\frac{1}{R}\left(\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\cdot\frac{\mathrm{V}_{0}}{\sqrt{2}}\right)^{2}.
Faço a álgebra com calma:
  • O quadrado do produto dá
P(\omega)=\frac{1}{R}\cdot\frac{R^{2}}{R^{2}+(\omega L)^{2}}\cdot\frac{\mathrm{V}_{0}^{2}}{2}.
  • Simplificando R^{2}/R obtemos
P(\omega)=\frac{\mathrm{V}_{0}^{2}}{2}\cdot\frac{R}{R^{2}+(\omega L)^{2}}.
Isto é a função que pede: potência média no resistor como função de \omega. Interpretação: para cada \omega você calcula (\omega L)^{2}, soma com R^{2} e obtém o denominador.

Passo 6

Agora o item (d): passa-alta ou passa-baixa? Justifico com limites e intuição do comportamento do indutor:
  • Observe o módulo da função de ganho
|H(j\omega)|=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}.
  • Limite para \omega\to 0: \;|H(j\omega)|\to \dfrac{R}{\sqrt{R^{2}+0}}=1. Ou seja, baixas frequências (incluindo DC) passam praticamente sem atenuação.
  • Limite para \omega\to\infty: \;|H(j\omega)|\to \dfrac{R}{\infty}=0. Frequências altas são fortemente atenuadas.
    Intuição física (curta): para baixas frequências o indutor tem reatância pequena ( \omega L pequeno) e se comporta quase como curto, então a tensão aparece no resistor. Para altas frequências o indutor tem grande reatância e quase toda a tensão cai sobre ele, sobrando pouca tensão no resistor.
    Portanto o circuito visto na saída sobre o resistor é um filtro passa-baixa.

Resposta

(a) \displaystyle Z_{\text{eq}}=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\;\angle\;\arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right)
(b) \displaystyle P(\omega)=\frac{\mathrm{V}_{0}^{2}}{2}\cdot\frac{R}{R^{2}+(\omega L)^{2}}
(d) Passa-baixa.

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