Um circuito RL série recebe um sinal de entrada AC cuja amplitude vale
e com uma frequência angular variável
. A saída do circuito corresponde à queda de tensão no resistor.
(a) [1,0 pt] Calcule a impedÂncia equivalente do circuito colocando o resultado na forma polar.
(b)
Determine a função de transferência do circuito, ou seja, escreva a função que descreve como o valor médio da potência dissipada no resistor depende da frequência
.
(d)
circuito possui um comportamento de passa alta ou passa baixa? Justifique.
(a) [1,0 pt] Calcule a impedÂncia equivalente do circuito colocando o resultado na forma polar.
(b)
(d)
Passo 1
O enunciado dá um circuito série com um resistor e um indutor conectados em série, alimentados por uma tensão AC com amplitude
e frequência angular variável
. A saída é a queda de tensão no resistor. As perguntas são:
- (a) Calcular a impedância equivalente do circuito em forma polar.
- (b) Determinar a função que descreve como o valor médio da potência dissipada no resistor depende de
. - (d) Dizer se o circuito é passa-alta ou passa-baixa e justificar.
Informações relevantes dadas:
- Resistor de valor
(real). - Indutor de indutância
. - Fonte senoidal de amplitude de pico
e frequência angular . - Saída: tensão sobre o resistor.
Passo 2
Vamos modelar o circuito no domínio fasorial (é o jeito padrão para AC senoidal). Explico devagar:
- Em regime senoidal, representamos tensões e correntes por fasores (números complexos) e componentes por suas impedâncias.
- A impedância do resistor é puramente real:
- A impedância do indutor é puramente imaginária (reatância indutiva):
onde é a unidade imaginária e é a magnitude da reatância. - Em série, as impedâncias somam. Logo a impedância equivalente é
Isto é a forma retangular (parte real + j·parte imaginária).
Passo 3
Transformar a impedância retangular para a forma polar (o pedido do item (a)). Para qualquer número complexo
a forma polar é
onde
-
é o módulo, -
é o argumento (ângulo) — lembrando o cuidado de usar o quadrante correto; aqui e , então o ângulo é positivo no primeiro quadrante.
Aplicando isso a
obtemos
e
Portanto a impedância equivalente em forma polar é
Passo 4
Agora vamos achar a função de transferência elétrica (para a tensão no resistor) e a potência média dissipada no resistor. Primeiro a função de transferência complexa (razão de fasores) da tensão no resistor em relação à tensão de entrada:
- Pela regra do divisor de tensão em série:
Isto é a função de transferência em forma complexa. Seu módulo (ganho de amplitude) é
Expliquei:
é o fasor da tensão no resistor;
é o fasor da fonte. O módulo
diz quanto da amplitude da fonte aparece no resistor.
Passo 5
Passo para a potência média (item (b)). Regras que vamos usar (explicando como se faz numa prova):
- A fonte tem amplitude de pico
. A tensão eficaz (RMS) da fonte é - A tensão eficaz sobre o resistor é
- A potência média dissipada no resistor (resistores dissipam potência real) é
Substituindo passo a passo:
Agora
Faço a álgebra com calma:
- O quadrado do produto dá
- Simplificando
obtemos
Isto é a função que pede: potência média no resistor como função de
. Interpretação: para cada
você calcula
, soma com
e obtém o denominador.
Passo 6
Agora o item (d): passa-alta ou passa-baixa? Justifico com limites e intuição do comportamento do indutor:
- Observe o módulo da função de ganho
- Limite para
: . Ou seja, baixas frequências (incluindo DC) passam praticamente sem atenuação. - Limite para
: . Frequências altas são fortemente atenuadas.
Intuição física (curta): para baixas frequências o indutor tem reatância pequena (pequeno) e se comporta quase como curto, então a tensão aparece no resistor. Para altas frequências o indutor tem grande reatância e quase toda a tensão cai sobre ele, sobrando pouca tensão no resistor.
Portanto o circuito visto na saída sobre o resistor é um filtro passa-baixa.
Resposta
(a)
(b)
(d) Passa-baixa.