Em um planeta onde a aceleração gravitacional é
, você chuta uma rocha da beira de um penhasco com uma velocidade horizontal de
. Não há velocidade vertical inicial. A rocha atinge o nível do solo abaixo do penhasco a um ângulo de
. Qual é a altura do penhasco?
a.
b. 60 m
c. 40 m
d. 200 m
e. Nenhuma dessas respostas está correta.
a.
b. 60 m
c. 40 m
d. 200 m
e. Nenhuma dessas respostas está correta.
Passo 1
O enunciado pede a altura do penhasco. Dados fornecidos:
- A aceleração gravitacional é
. - A rocha é chutada horizontalmente com velocidade inicial
. - A velocidade vertical inicial é
. - Ao alcançar o solo, a trajetória forma um ângulo de
com a horizontal.
O objetivo único: determinar a altura do penhasco (em metros).
Passo 2
Como vamos resolver: decompor o movimento em componente horizontal e componente vertical (movimento científico de projéteis). Vou te explicar as fórmulas básicas e o significado de cada variável.
- Horizontalmente: a velocidade horizontal é constante porque não há aceleração horizontal (ignora-se resistência do ar). Denotamos por
essa velocidade. - Verticalmente: a velocidade vertical varia devido à gravidade. Denotamos por
a velocidade vertical no instante . A posição vertical (altura perdida) vem da fórmula do movimento uniformemente variado.
Fórmulas que vamos usar:
Onde:
-
é a velocidade vertical inicial (no nosso caso ), -
é a aceleração gravitacional ( ), -
é o tempo desde o chute até o impacto, -
é a distância vertical percorrida (a altura do penhasco que queremos).
Importante:tem sinal horizontal, torna-se negativo ao apontar para baixo se escolhermos para cima como positivo; aqui usaremos magnitudes quando for comparar ângulos.
Passo 3
Entendendo o ângulo de impacto: o ângulo
que a velocidade ao impacto faz com a horizontal satisfaz
No problema,
. Como
, concluímos que, no instante do impacto,
Isto significa que a rapidez vertical no momento do impacto (em magnitude) é igual à rapidez horizontal constante.
Passo 4
Aplicando os valores do enunciado:
- A velocidade horizontal inicial e constante é
(isto vem do enunciado). - Pelo argumento do passo anterior, no impacto
.
Agora usamos a relação vertical entre velocidade e tempo. Comoe a aceleração é ,
Tomando magnitudes,
Logo,
Passo 5
Resolver para o tempo
:
Expliquei passo a passo: dividimos a velocidade vertical requerida pela aceleração para obter o tempo de queda.
Passo 6
Agora calculamos a altura (distância vertical percorrida) usando a fórmula do deslocamento vertical com
:
Substituindo
e
:
Calcule passo a passo:
. Então
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar mais seguro): a velocidade vertical no impacto é
para baixo; a horizontal é
para a frente; a razão é
e
. Está consistente com o enunciado.
Resposta
a.