Em um planeta onde a aceleração gravitacional é 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, você chuta uma rocha da beira de um penhasco com uma velocidade horizontal de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Não há velocidade vertical inicial. A rocha atinge o nível do solo abaixo do penhasco a um ângulo de 45^{\circ}. Qual é a altura do penhasco?
a. \quad 80 \mathrm{~m}
b. 60 m
c. 40 m
d. 200 m
e. Nenhuma dessas respostas está correta.

Passo 1

O enunciado pede a altura do penhasco. Dados fornecidos:
  • A aceleração gravitacional é \;10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • A rocha é chutada horizontalmente com velocidade inicial \;40\\ \mathrm{m/s}.
  • A velocidade vertical inicial é \;0.
  • Ao alcançar o solo, a trajetória forma um ângulo de \;45^\circ com a horizontal.
    O objetivo único: determinar a altura do penhasco (em metros).

Passo 2

Como vamos resolver: decompor o movimento em componente horizontal e componente vertical (movimento científico de projéteis). Vou te explicar as fórmulas básicas e o significado de cada variável.
  • Horizontalmente: a velocidade horizontal é constante porque não há aceleração horizontal (ignora-se resistência do ar). Denotamos por \;v_x essa velocidade.
  • Verticalmente: a velocidade vertical varia devido à gravidade. Denotamos por \;v_y(t) a velocidade vertical no instante t. A posição vertical y(t) (altura perdida) vem da fórmula do movimento uniformemente variado.
    Fórmulas que vamos usar:
v_x = \text{velocidade horizontal (constante)}
v_y(t) = v_{0y} + g\,t
y(t) = v_{0y}\,t + \tfrac{1}{2}\,g\,t^2
Onde:
  • \;v_{0y} é a velocidade vertical inicial (no nosso caso \;0),
  • \;g é a aceleração gravitacional ( \;10\\ \mathrm{m/s^2}),
  • \;t é o tempo desde o chute até o impacto,
  • \;y(t) é a distância vertical percorrida (a altura do penhasco que queremos).
    Importante: v_x tem sinal horizontal, v_y torna-se negativo ao apontar para baixo se escolhermos para cima como positivo; aqui usaremos magnitudes quando for comparar ângulos.

Passo 3

Entendendo o ângulo de impacto: o ângulo \theta que a velocidade ao impacto faz com a horizontal satisfaz
\tan\theta = \frac{\text{componente vertical da velocidade (magnitude)}}{\text{componente horizontal da velocidade}} = \frac{|v_y|}{v_x}.
No problema, \theta = 45^\circ. Como \tan 45^\circ = 1, concluímos que, no instante do impacto,
|v_y| = v_x.
Isto significa que a rapidez vertical no momento do impacto (em magnitude) é igual à rapidez horizontal constante.

Passo 4

Aplicando os valores do enunciado:
  • A velocidade horizontal inicial e constante é \;v_x = 40\\ \mathrm{m/s} (isto vem do enunciado).
  • Pelo argumento do passo anterior, no impacto |v_y| = 40\\ \mathrm{m/s}.
    Agora usamos a relação vertical entre velocidade e tempo. Como v_{0y}=0 e a aceleração é \;g=10\\ \mathrm{m/s^2},
v_y(t) = v_{0y} + g\,t = 0 + g\,t = g\,t.
Tomando magnitudes,
|v_y| = g\,t.
Logo,
g\,t = 40.

Passo 5

Resolver para o tempo t:
t = \frac{40}{g} = \frac{40}{10} = 4\\ \mathrm{s}.
Expliquei passo a passo: dividimos a velocidade vertical requerida pela aceleração para obter o tempo de queda.

Passo 6

Agora calculamos a altura (distância vertical percorrida) usando a fórmula do deslocamento vertical com \;v_{0y}=0:
y(t) = \tfrac{1}{2}\,g\,t^2.
Substituindo \;g=10\\ \mathrm{m/s^2} e \;t=4\\ \mathrm{s}:
y = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 4^2.
Calcule passo a passo: 4^2 = 16. Então
y = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 16 = 5 \cdot 16 = 80\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar mais seguro): a velocidade vertical no impacto é \;v_y = g t = 10\cdot 4 = 40\\ \mathrm{m/s} para baixo; a horizontal é \;40\\ \mathrm{m/s} para a frente; a razão é 40/40=1 e \arctan(1)=45^\circ. Está consistente com o enunciado.

Resposta

a. 80\\ \mathrm{m}

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