Um circuito em série tem um capacitor de 10^-5 F, um resistor de 3 times 10^2 Omega e um indutor de 0,2 H. A carga inicial no capacitor é de 10^-6 C e não há corrente inicial. Encontre a carga Q no capacitor em qualquer instante t.
Rpt. Q=10^-6(2 e^-500 t-e^-1000 t) C, t em s.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC com capacitor de C=10^-5,F, resistor de R=3times10^2,Omega e indutor de L=0,2,H. A carga inicial no capacitor é Q(0)=10^-6,C e a corrente inicial é nula. Precisamos encontrar a carga Q(t) resolvendo a equação diferencial do circuito.

Passo 2

Para um circuito série RLC sem fonte, a equação para a carga Q(t) é
Ld^2Qdt^2+RdQdt+QC=0
Substituindo L=0,2, R=300 e C=10^-5 temos os parâmetros de amortecimento e frequência natural:
alpha=R2L=3002cdot0,2=750e omega0=1raizLC=1raiz0,2cdot10^-5approx707,1

Passo 3

Como alpha>omega0, o circuito está sobreamortecido. As raízes do polinômio característico são
s1,2=-alphapmraizalpha^2-omega0^2=-750pm250
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s1=-500,, s2=-1000

Passo 4

A solução geral é Q(t)=A e^-500t+B e^-1000t. Usando as condições iniciais:
  • Q(0)=A+B=10^-6.
  • A corrente i(t)=-tfracdQdt e i(0)=0 implica tfracdQdt(0)=0, ou seja -500A-1000B=0.
    Dessas equações segue A=-2B e -2B+B=10^-6, logo B=-10^-6 e A=2times10^-6.

Passo 5

Substituindo em Q(t) chegamos na expressão final.

Resposta

Q(t)=10^-6l(2e^-500t-e^-1000tr)C

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