Decomponha o polinômio
em fatores de segundo grau com coeficientes reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o polinômio $ \mathrm{P}(x) = x^{4} + 9 $ e a tarefa é decompor esse polinômio em fatores de segundo grau com coeficientes reais. Isso significa que queremos escrever $ \mathrm{P}(x) $ como um produto de dois polinômios de segundo grau que tenham números reais nos coeficientes. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas propriedades dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, observe que $ \mathrm{P}(x) = x^{4} + 9 $ é um polinômio de quarto grau, mas ele só tem termos com potências pares de $ x $. Isso nos dá uma pista: podemos tentar reescrever $ x^{4} $ como $ (x{2}){2} $. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos pensar em como fatorar uma soma de quadrados. Sabemos que, com números complexos, podemos fatorar $ a^{2} + b^{2} $ como $ (a + bi)(a - bi) $, mas aqui precisamos de fatores com coeficientes reais. Então, precisamos de uma abordagem diferente.
Vamos supor que $ \mathrm{P}(x) $ pode ser escrita como o produto de dois polinômios de segundo grau:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ p $, $ q $, $ r $ e $ s $ que tornam essa igualdade verdadeira.
Passo 4
Vamos expandir o produto:
Queremos que isso seja igual a $ x^{4} + 9 $. Então, vamos igualar os coeficientes correspondentes:
- Coeficiente de $ x^{3} $: $ p + r = 0 $
- Coeficiente de $ x^{2} $: $ pr + q + s = 0 $
- Coeficiente de $ x $: $ ps + q r = 0 $
- Termo constante: $ q s = 9 $
Passo 5
Da primeira equação $ p + r = 0 $, podemos deduzir que $ r = -p $.
Substituindo $ r = -p $ na terceira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
- Caso 1: $ p = 0 $
- Caso 2: $ s = q $
Vamos analisar cada caso.
Passo 6
Caso 1: Se $ p = 0 $, então $ r = 0 $. Substituindo esses valores na segunda equação:
E na quarta equação:
Então, temos:
Resolvendo esse sistema, vemos que não há números reais que satisfazem essas condições, porque $ q $ e $ s $ seriam números inversos um do outro multiplicados para 9, o que não é possível com soma zero. Portanto, o Caso 1 não funciona.
Passo 7
Caso 2: Se $ s = q $, então substituindo na segunda equação:
Então:
E da quarta equação:
Vamos considerar $ q = 3 $ (porque $ q = -3 $ levaria a $ p^{2} = -6 $, o que não é possível com números reais).
Com $ q = 3 $:
Passo 8
Agora, temos os valores:
Substituindo de volta nos fatores:
Resposta
Portanto, a decomposição do polinômio $ \mathrm{P}(x) = x^{4} + 9 $ em fatores de segundo grau com coeficientes reais é: