Decomponha o polinômio P(x)=x^4+9 em fatores de segundo grau com coeficientes reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o polinômio $ \mathrm{P}(x) = x^{4} + 9 $ e a tarefa é decompor esse polinômio em fatores de segundo grau com coeficientes reais. Isso significa que queremos escrever $ \mathrm{P}(x) $ como um produto de dois polinômios de segundo grau que tenham números reais nos coeficientes. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas propriedades dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, observe que $ \mathrm{P}(x) = x^{4} + 9 $ é um polinômio de quarto grau, mas ele só tem termos com potências pares de $ x $. Isso nos dá uma pista: podemos tentar reescrever $ x^{4} $ como $ (x{2}){2} $. Assim, temos:
P(x) = x^4 + 9

Passo 3

Agora, vamos pensar em como fatorar uma soma de quadrados. Sabemos que, com números complexos, podemos fatorar $ a^{2} + b^{2} $ como $ (a + bi)(a - bi) $, mas aqui precisamos de fatores com coeficientes reais. Então, precisamos de uma abordagem diferente.
Vamos supor que $ \mathrm{P}(x) $ pode ser escrita como o produto de dois polinômios de segundo grau:
a^2 + b^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ p $, $ q $, $ r $ e $ s $ que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 4

Vamos expandir o produto:
(x^2 + p x + q)(x^2 + r x + s) = x^4 + (p + r)x^3 + (pr + q + s)x^2 + (ps + q r)x + q s
Queremos que isso seja igual a $ x^{4} + 9 $. Então, vamos igualar os coeficientes correspondentes:
  1. Coeficiente de $ x^{3} $: $ p + r = 0 $
  2. Coeficiente de $ x^{2} $: $ pr + q + s = 0 $
  3. Coeficiente de $ x $: $ ps + q r = 0 $
  4. Termo constante: $ q s = 9 $

Passo 5

Da primeira equação $ p + r = 0 $, podemos deduzir que $ r = -p $.
Substituindo $ r = -p $ na terceira equação:
p + r = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. Caso 1: $ p = 0 $
  2. Caso 2: $ s = q $
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1: Se $ p = 0 $, então $ r = 0 $. Substituindo esses valores na segunda equação:
p = 0
E na quarta equação:
r = 0
Então, temos:
0 cdot 0 + q + s = q + s = 0
Resolvendo esse sistema, vemos que não há números reais que satisfazem essas condições, porque $ q $ e $ s $ seriam números inversos um do outro multiplicados para 9, o que não é possível com soma zero. Portanto, o Caso 1 não funciona.

Passo 7

Caso 2: Se $ s = q $, então substituindo na segunda equação:
s = q
Então:
pr + q + s = (-p^2) + 2q = 0
E da quarta equação:
2q = p^2
Vamos considerar $ q = 3 $ (porque $ q = -3 $ levaria a $ p^{2} = -6 $, o que não é possível com números reais).
Com $ q = 3 $:
q s = q^2 = 9 Rightarrow q = 3 ou q = -3

Passo 8

Agora, temos os valores:
p = raiz6, r = -raiz6, q = 3, s = 3
Substituindo de volta nos fatores:
(x^2 + raiz6,x + 3)(x^2 - raiz6,x + 3)

Resposta

Portanto, a decomposição do polinômio $ \mathrm{P}(x) = x^{4} + 9 $ em fatores de segundo grau com coeficientes reais é:
P(x) = x^4 + 9

Exercícios relacionados