Se um sistema massa-mola com uma massa de 2 kg e uma mola com constante de elasticidade igual 0,5 N / m é colocado em movimento, no instante t=0, num meio em que a constante de amortecimento é igual a 1 N s / m, determine a posição da massa em qualquer instante t, considerando a posição inicial igual x0 e a velocidade inicial x0^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola com uma massa de 2 kg e uma mola com constante elástica de 0,5 N/m. Ele também menciona que o sistema está em um meio com amortecimento, ou seja, há resistência ao movimento, com uma constante de amortecimento de 1 N·s/m. A gente precisa descobrir como a posição da massa varia com o tempo, partindo de uma posição inicial x0 e uma velocidade inicial x'0.
Estamos trabalhando com o movimento harmônico amortecido, que é um tema de mecânica clássica. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação diferencial do movimento para sistemas massa-mola com amortecimento e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento desse sistema massa-mola com amortecimento. A equação geral é:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Aqui:
  • m = 2,kg é a massa,
  • c = 1,N·s/m é a constante de amortecimento,
  • k = 0,5,N/m é a constante elástica da mola,
  • x é a posição da massa em função do tempo t.

Passo 3

Substituindo os valores na equação, temos:
2 d^2xdt^2 + 1 dxdt + 0,5x = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos assumir uma solução da forma x(t) = e^rt, onde r é uma constante que vamos determinar.

Passo 4

Substituindo x(t) = e^rt na equação diferencial:
2r^2 e^rt + r e^rt + 0,5 e^rt = 0
Podemos dividir todos os termos por e^rt (que nunca é zero), ficando com a equação característica:
2r^2 + r + 0,5 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação característica:
2r^2 + r + 0,5 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 2, b = 1, e c = 0,5.
Calculando o discriminante:
De
Como De, temos raízes complexas, indicando um movimento subamortecido.

Passo 6

As raízes são:
r = -1 pm raiz-34 = -14 pm i raiz34
Podemos reescrever a solução geral como:
x(t) = e^-c2m t ( A cos(omegad t) + B sin(omegad t) )
Onde:
  • omegad = raizkm - ( c2m )^2 �� a frequência angular amortecida,
  • A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Vamos calcular omegad:
omegad = raiz0,52 - ( 12 cdot 2 )^2 = raiz0,25 - 0,0625 = raiz0,1875 = raiz34
Então, a solução fica:
x(t) = e^-14 t ( A cos( raiz34 t ) + B sin( raiz34 t ) )

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar A e B.
Primeira condição: x(0) = x0.
Substituindo t=0 na solução:
x(0) = e^0 ( A cos(0) + B sin(0) ) = A = x0
Então, A = x0.
Segunda condição: x'(0) = x'0.
Primeiro, derivamos x(t):
x'(t) = -14 e^-14 t ( x0 cos( raiz34 t ) + B sin( raiz34 t ) ) + e^-14 t ( -x0 raiz34 sin( raiz34 t ) + B raiz34 cos( raiz34 t ) )
Substituindo t=0:
x'(0) = -14 x0 + B raiz34 = x'0
Resolvendo para B:
B = 4raiz3 (x'0 + 14 x0)

Passo 9

Finalmente, substituímos A e B na expressão de x(t):
x(t) = e^-14 t ( x0 cos( raiz34 t ) + 4raiz3 (x'0 + 14 x0 ) sin( raiz34 t ) )

Resposta

A posição da massa em qualquer instante t é dada por:
x(t) = e^-14 t ( x0 cos( raiz34 t ) + 4raiz3 ( x'0 + 14 x0 ) sin( raiz34 t ) )

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