Se um sistema massa-mola com uma massa de 2 kg e uma mola com constante de elasticidade igual
é colocado em movimento, no instante
, num meio em que a constante de amortecimento é igual a
, determine a posição da massa em qualquer instante
, considerando a posição inicial igual
e a velocidade inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola com uma massa de 2 kg e uma mola com constante elástica de 0,5 N/m. Ele também menciona que o sistema está em um meio com amortecimento, ou seja, há resistência ao movimento, com uma constante de amortecimento de 1 N·s/m. A gente precisa descobrir como a posição da massa varia com o tempo, partindo de uma posição inicial
e uma velocidade inicial
.
Estamos trabalhando com o movimento harmônico amortecido, que é um tema de mecânica clássica. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação diferencial do movimento para sistemas massa-mola com amortecimento e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento desse sistema massa-mola com amortecimento. A equação geral é:
Aqui:
-
é a massa, -
é a constante de amortecimento, -
é a constante elástica da mola, -
é a posição da massa em função do tempo .
Passo 3
Substituindo os valores na equação, temos:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos assumir uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 4
Substituindo
na equação diferencial:
Podemos dividir todos os termos por
(que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Como
, temos raízes complexas, indicando um movimento subamortecido.
Passo 6
As raízes são:
Podemos reescrever a solução geral como:
Onde:
-
�� a frequência angular amortecida, -
e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Vamos calcular
:
Então, a solução fica:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
na solução:
Então,
.
Segunda condição:
.
Primeiro, derivamos
:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Finalmente, substituímos
e
na expressão de
:
Resposta
A posição da massa em qualquer instante
é dada por: