(3,0) A fórmula para a expansão adiabática do ar é p v^1,4=c, onde p é a pressão, v o volume e c uma constante. Estabeleça uma fórmula para a taxa de variação da pressão em relação ao volume.

Passo 1

O enunciado dá a lei adiabática do ar
p,v^1,4=c
onde p é pressão (função de v), v é volume e c é constante. Queremos achar a taxa de variação dpdv. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
p(v),v^1,4=c
em relação a v, o lado direito some (derivada de constante é zero) e no esquerdo aplicamos a regra do produto:
ddvl[p,v^1,4r] =dpdv,v^1,4+pcdotddvl(v^1,4r)=0

Passo 3

A derivada de v^1,4 segundo a regra da potência é 1,4,v^0,4. Logo a expressão fica
dpdv,v^1,4+p,(1,4,v^0,4)=0
Agora isolamos dpdv:
dpdv,v^1,4=-1,4,p,v^0,4 Longrightarrow dpdv=-1,4,p,v^0,4v^1,4

Passo 4

Como dfracv^0,4v^1,4=v^-1, obtemos
dpdv=-1,4,pv
Se quisermos em função de c e v, lembramos que p=c,v^-1,4, daí
dpdv=-1,4,c,v^-2,4

Resposta

dpdv=-1,4,pv ou dpdv=-1,4,c,v^-2,4

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