Um homem está de pé em uma plataforma que gira sem atrito com velocidade angular de
; os braços do homem estão abertos e ele segura um tijolo em cada mão. O momento de inércia do sistema formado pelo homem, os tijolos e a plataforma em relação ao eixo central da plataforma é
. Se ao mover os braços, o homem reduz o momento de inércia do sistema para
, determine (a) a nova velocidade angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial. (c) De onde vem a energia cinética adicional?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar a nova velocidade angular da plataforma depois que o homem aproxima os braços.
- (b) Determinar a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial.
- (c) Explicar de onde vem a energia cinética adicional.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Passo 2
Conservação do momento angular: quando não existe torque externo resultante, o momento angular total do sistema é constante. A fórmula é
onde
é o momento angular (constante),
é o momento de inércia e
é a velocidade angular. Isso significa
Aqui
e
são os valores iniciais e
e
os valores finais. Vou usar essa relação para achar
. (Explicação: como não há atrito com o eixo, nada externo está empurrando o sistema em giro — por isso
não muda.)
Passo 3
Converter a velocidade angular inicial de unidades de revoluções por segundo para radianos por segundo, porque nas contas com energia usamos
em rad/s. A relação é
. Logo
Numericamente,
(mas vou continuar simbólico com
para ficar exato).
Passo 4
Aplicar conservação do momento angular para encontrar
:
Substituindo
e
:
Usando
:
Em revoluções por segundo, dividimos por
:
Também podemos dar a aproximação numérica
.
Passo 5
Agora a energia cinética rotacional: a fórmula é
onde
é a energia cinética rotacional,
o momento de inércia e
a velocidade angular (em rad/s). Vou usar essa fórmula para comparar as energias inicial e final.
Passo 6
Calcular a razão
. Escrevendo explicitamente,
Mas de
temos
. Substituindo:
Portanto a razão simplifica sem depender de
:
. Substituindo números:
Ou seja, a energia cinética final é três vezes a energia cinética inicial.
Passo 7
(apoiando com valores numéricos para intuir magnitudes) Se quisermos os valores numéricos:
Esses números apenas confirmam a razão já obtida.
Passo 8
Explicar de onde vem a energia adicional: o momento angular se conserva, mas a energia pode mudar quando o momento de inércia muda. Para reduzir
o homem precisa aproximar os tijolos — isso exige que ele puxe os tijolos contra a tendência de “ficarem para fora” devido ao giro. Os músculos do homem realizam trabalho ao puxar os tijolos para dentro; esse trabalho provém da energia química do corpo (reações metabólicas) e é convertido em energia cinética rotacional adicional do sistema. Em termos simples: não há torque externo, mas há trabalho interno realizado pelos músculos que aumenta
.
Resposta
(a)
(b)
(c) A energia extra vem do trabalho realizado pelos músculos do homem (energia química convertida em trabalho mecânico ao puxar os tijolos para dentro).
(b)
(c) A energia extra vem do trabalho realizado pelos músculos do homem (energia química convertida em trabalho mecânico ao puxar os tijolos para dentro).