Um homem está de pé em uma plataforma que gira sem atrito com velocidade angular de 1,2 \mathrm{rev} / \mathrm{s}; os braços do homem estão abertos e ele segura um tijolo em cada mão. O momento de inércia do sistema formado pelo homem, os tijolos e a plataforma em relação ao eixo central da plataforma é 6,0 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}. Se ao mover os braços, o homem reduz o momento de inércia do sistema para 2,0 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}, determine (a) a nova velocidade angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial. (c) De onde vem a energia cinética adicional?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Determinar a nova velocidade angular da plataforma depois que o homem aproxima os braços.
  2. (b) Determinar a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial.
  3. (c) Explicar de onde vem a energia cinética adicional.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{Velocidade angular inicial: }\omega_i = 1{,}2\\ \mathrm{rev/s}
\text{Momento de inércia inicial: }I_i = 6{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^2}é
\text{Momento de inércia final: }I_f = 2{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^2}é
\text{Giro sem atrito (logo não há torque externo).}ãá

Passo 2

Conservação do momento angular: quando não existe torque externo resultante, o momento angular total do sistema é constante. A fórmula é
L = I\omega,
onde L é o momento angular (constante), I é o momento de inércia e \omega é a velocidade angular. Isso significa
I_i \omega_i = I_f \omega_f.
Aqui I_i e \omega_i são os valores iniciais e I_f e \omega_f os valores finais. Vou usar essa relação para achar \omega_f. (Explicação: como não há atrito com o eixo, nada externo está empurrando o sistema em giro — por isso L não muda.)

Passo 3

Converter a velocidade angular inicial de unidades de revoluções por segundo para radianos por segundo, porque nas contas com energia usamos \omega em rad/s. A relação é 1\\ \mathrm{rev} = 2\pi\\ \mathrm{rad}. Logo
\omega_i = 1{,}2\\ \mathrm{rev/s} = 1{,}2\cdot 2\pi\\ \mathrm{rad/s} = 2{,}4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Numericamente, \omega_i \approx 7{,}5398\\ \mathrm{rad/s} (mas vou continuar simbólico com \pi para ficar exato).

Passo 4

Aplicar conservação do momento angular para encontrar \omega_f:
I_i \omega_i = I_f \omega_f \quad\Rightarrow\quad \omega_f = \frac{I_i}{I_f}\,\omega_i.
Substituindo I_i=6{,}0 e I_f=2{,}0:
\omega_f = \frac{6{,}0}{2{,}0}\,\omega_i = 3\,\omega_i.
Usando \omega_i = 2{,}4\pi\\ \mathrm{rad/s}:
\omega_f = 3\cdot 2{,}4\pi = 7{,}2\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Em revoluções por segundo, dividimos por 2\pi:
\omega_f = \frac{7{,}2\pi}{2\pi} = 3{,}6\\ \mathrm{rev/s}.
Também podemos dar a aproximação numérica \omega_f \approx 22{,}62\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Agora a energia cinética rotacional: a fórmula é
K = \tfrac{1}{2} I \omega^2,
onde K é a energia cinética rotacional, I o momento de inércia e \omega a velocidade angular (em rad/s). Vou usar essa fórmula para comparar as energias inicial e final.

Passo 6

Calcular a razão \dfrac{K_f}{K_i}. Escrevendo explicitamente,
\frac{K_f}{K_i} = \frac{\tfrac{1}{2} I_f \omega_f^2}{\tfrac{1}{2} I_i \omega_i^2} = \frac{I_f}{I_i}\left(\frac{\omega_f}{\omega_i}\right)^2.
Mas de I_i\omega_i=I_f\omega_f temos \dfrac{\omega_f}{\omega_i}=\dfrac{I_i}{I_f}. Substituindo:
\frac{K_f}{K_i} = \frac{I_f}{I_i}\left(\frac{I_i}{I_f}\right)^2 = \frac{I_i}{I_f}.
Portanto a razão simplifica sem depender de \omega: \dfrac{K_f}{K_i}=\dfrac{I_i}{I_f}. Substituindo números:
\frac{K_f}{K_i} = \frac{6{,}0}{2{,}0} = 3.
Ou seja, a energia cinética final é três vezes a energia cinética inicial.

Passo 7

(apoiando com valores numéricos para intuir magnitudes) Se quisermos os valores numéricos:
K_i = \tfrac{1}{2}I_i\omega_i^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}0\cdot (2{,}4\pi)^2 = 3{,}0\cdot (2{,}4\pi)^2 = 17{,}28\pi^2\\ \mathrm{J}\approx 170{,}6\\ \mathrm{J},
K_f = 3 K_i \approx 511{,}8\\ \mathrm{J}.
Esses números apenas confirmam a razão já obtida.

Passo 8

Explicar de onde vem a energia adicional: o momento angular se conserva, mas a energia pode mudar quando o momento de inércia muda. Para reduzir I o homem precisa aproximar os tijolos — isso exige que ele puxe os tijolos contra a tendência de “ficarem para fora” devido ao giro. Os músculos do homem realizam trabalho ao puxar os tijolos para dentro; esse trabalho provém da energia química do corpo (reações metabólicas) e é convertido em energia cinética rotacional adicional do sistema. Em termos simples: não há torque externo, mas há trabalho interno realizado pelos músculos que aumenta K.

Resposta

(a) \omega_f = 3{,}6\\ \mathrm{rev/s} = 7{,}2\pi\\ \mathrm{rad/s}\\ (\approx 22{,}62\\ \mathrm{rad/s})
(b) \dfrac{K_f}{K_i} = 3
(c) A energia extra vem do trabalho realizado pelos músculos do homem (energia química convertida em trabalho mecânico ao puxar os tijolos para dentro).

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