Questão 2. (
pontos) Nas questões abaixo, utilize unidades SI e apresente três algarismos significativos quando pertinente. Respostas devem estar na folha de rascunho à caneta, com justificativa. No circuito abaixo,
,
. O capacitor tem
desconhecida. A bateria ideal tem
. A chave
é fechada em
e o capacitor começa a ser carregado. Após
, a carga no capacitor é
, onde
é a carga em regime estacionário.
(a) (
ponto) Calcule a resistência equivalente
vista pelo capacitor quando a chave fecha.
(b) (
ponto) Determine
usando a equação de descarregamento do capacitor.
(a) (
(b) (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (atenção: não foi enviada a figura do circuito; isso é importante).
- Dados fornecidos:
-
. -
. -
. - bateria ideal com
. - a chave
é fechada em . - em
a carga no capacitor é , onde é a carga no regime estacionário.
-
- O que se pede:
- (a) Calcular a resistência equivalente
vista pelo capacitor quando a chave fecha. - (b) Determinar
usando a equação de carregamento/descarga do capacitor.
- (a) Calcular a resistência equivalente
- Observação importante: o enunciado refere-se a um “circuito abaixo” (uma figura), mas essa figura não foi enviada. A determinação numérica de
depende da topologia do circuito (como os resistores estão ligados em relação ao capacitor). Portanto, sem a figura não é possível dar valores numéricos específicos para nem para . A resolução a seguir explica o procedimento completo e fornece o valor do tempo característico extraído da condição dada; com a figura ou com a informação da topologia, basta aplicar os passos indicados para achar e então .
Passo 2
Como se determina, em geral, a resistência equivalente vista por um capacitor em um circuito quando a chave fecha? (aula prática e passo a passo)
- Conceito: a resistência equivalente vista pelo capacitor é a resistência de Thevenin (
) entre os terminais do capacitor com as fontes independentes desligadas (fontes de tensão ideais substituídas por curto-circuito; fontes de corrente por circuito aberto) e com a chave na posição que corresponde ao instante em que o capacitor começa a carregar. - Procedimento passo a passo para achar
: - Identificar os dois terminais onde o capacitor se conecta.
- “Desligar” a fonte ideal de tensão substituindo-a por um fio (curto).
- Manter a chave na posição correspondente a
(ou seja, considere como a chave fica logo após fechar, pois isso determina conexões entre resistores). - Calcular a resistência equivalente entre os terminais do capacitor usando as regras básicas:
- Resistências em série somam:
. - Resistências em paralelo combinam:
.
- Resistências em série somam:
- O valor obtido é
.
- Observação didática: sem a figura não se sabe se, por exemplo, os resistores ficam em série, ou se há um divisor de tensão com o capacitor ligado em um nó intermediário, ou outras configurações. Por isso não se pode calcular numericamente
neste momento. Se a figura mostrar, por exemplo, em série com o paralelo de e , então Mas isso é somente um exemplo de uma topologia possível; é necessário confirmar com a figura real.
Passo 3
Equação de carregamento do capacitor e definição das grandezas envolvidas (aula curta de teoria):
- Quando um capacitor carrega num circuito linear do tipo Thevenin
em série com , a carga no capacitor varia com o tempo segundo onde: -
é a carga no instante . -
é a carga em regime estacionário (quando ). -
é a constante de tempo do circuito, dada por .
-
- Além disso,
, onde é a tensão de Thevenin (a tensão de circuito aberto) vista pelo capacitor quando a chave está fechada. - Variáveis definidas claramente:
-
(ou ): resistência equivalente vista pelo capacitor (em ohms). -
: capacitância do capacitor (em farads). -
: tensão de Thevenin (em volts). -
: constante de tempo (em segundos).
-
Passo 4
Usar a condição numérica dada
para obter
.
- Substituindo na equação:
- Isolando o expoente:
- Tomando logaritmo natural:
- Calculemos numericamente
(usar três algarismos significativos): -
. - Portanto
- Resultado com três algarismos significativos:
.
-
Passo 5
Expressão para
em função de
e
; como obter
numericamente quando
for conhecido.
- Relação básica:
- Substituindo o valor numérico obtido para
: Aqui deve estar em ohms para que venha em farads. - Interpretação prática: assim que a figura for conhecida e for calculado
(usando o procedimento do Passo 2), basta dividir por esse (em ) para obter em farads. Exemplo ilustrativo (apenas ilustrativo — não assumir sem a figura): se por hipótese , então Mas isso é só um exemplo numérico que depende do valor real de obtido a partir da topologia verdadeira do circuito.
Passo 6
Resumo prático do que você deve fazer quando tiver a figura (passos que fará rapidamente na prova):
- Identificar os terminais do capacitor e, com a chave na posição correspondente a
, desligar a fonte (curto-circuitar a bateria ideal). - Calcular
entre os terminais do capacitor usando série/paralelo. - Usar
(valor que já encontramos a partir da condição ). - Calcular
e apresentar em farads (ou em , se for mais conveniente), com três algarismos significativos.
- Palavra de incentivo: você já tem a parte mais trabalhosa feita — o valor de
— e só falta aplicar a regra de resistências na topologia correta da figura. Dá pra resolver rápido no caderno quando a figura estiver à mão!
Resposta
(a) Não é possível determinar numericamente
sem a figura do circuito (é necessário conhecer a topologia para calcular a resistência de Thevenin entre os terminais do capacitor).
(b)
(com
em ohms;
obtido de
).