Questão 2. ( \mathbf{3 , 0} pontos) Nas questões abaixo, utilize unidades SI e apresente três algarismos significativos quando pertinente. Respostas devem estar na folha de rascunho à caneta, com justificativa. No circuito abaixo, R_{1}=4,00 \mathrm{k} \Omega, R_{2}=8,00 \mathrm{k} \Omega, R_{3}=2,00 \mathrm{k} \Omega. O capacitor tem C desconhecida. A bateria ideal tem \mathcal{E}=12,0 \mathrm{~V}. A chave S é fechada em t=0 e o capacitor começa a ser carregado. Após t=5,00 \mathrm{~s}, a carga no capacitor é q=0,630 q_{\infty}, onde q_{\infty} é a carga em regime estacionário.
(a) ( \mathbf{1 , 5} ponto) Calcule a resistência equivalente R_{e q} vista pelo capacitor quando a chave fecha.
(b) ( \mathbf{1 , 5} ponto) Determine C usando a equação de descarregamento do capacitor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (atenção: não foi enviada a figura do circuito; isso é importante).
  • Dados fornecidos:
    • R_{1}=4,00\\ \mathrm{k}\Omega.
    • R_{2}=8,00\\ \mathrm{k}\Omega.
    • R_{3}=2,00\\ \mathrm{k}\Omega.
    • bateria ideal com \mathcal{E}=12,0\\ \mathrm{V}.
    • a chave S é fechada em t=0.
    • em t=5,00\\ \mathrm{s} a carga no capacitor é q(5{,}00\\ \mathrm{s})=0{,}630\,q_{\infty}, onde q_{\infty} é a carga no regime estacionário.
  • O que se pede:
    • (a) Calcular a resistência equivalente R_{eq} vista pelo capacitor quando a chave fecha.
    • (b) Determinar C usando a equação de carregamento/descarga do capacitor.
  • Observação importante: o enunciado refere-se a um “circuito abaixo” (uma figura), mas essa figura não foi enviada. A determinação numérica de R_{eq} depende da topologia do circuito (como os resistores estão ligados em relação ao capacitor). Portanto, sem a figura não é possível dar valores numéricos específicos para R_{eq} nem para C. A resolução a seguir explica o procedimento completo e fornece o valor do tempo característico \tau extraído da condição dada; com a figura ou com a informação da topologia, basta aplicar os passos indicados para achar R_{eq} e então C.

Passo 2

Como se determina, em geral, a resistência equivalente vista por um capacitor em um circuito quando a chave fecha? (aula prática e passo a passo)
  • Conceito: a resistência equivalente vista pelo capacitor é a resistência de Thevenin ( R_{\text{th}}) entre os terminais do capacitor com as fontes independentes desligadas (fontes de tensão ideais substituídas por curto-circuito; fontes de corrente por circuito aberto) e com a chave na posição que corresponde ao instante em que o capacitor começa a carregar.
  • Procedimento passo a passo para achar R_{eq}=R_{\text{th}}:
    1. Identificar os dois terminais onde o capacitor se conecta.
    2. “Desligar” a fonte ideal de tensão substituindo-a por um fio (curto).
    3. Manter a chave na posição correspondente a t=0^+ (ou seja, considere como a chave fica logo após fechar, pois isso determina conexões entre resistores).
    4. Calcular a resistência equivalente entre os terminais do capacitor usando as regras básicas:
      • Resistências em série somam: R_{\text{ser}}=R_a+R_b.
      • Resistências em paralelo combinam: R_{\text{par}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{R_a}+\dfrac{1}{R_b}}=\dfrac{R_a R_b}{R_a+R_b}.
    5. O valor obtido é R_{eq}=R_{\text{th}}.
  • Observação didática: sem a figura não se sabe se, por exemplo, os resistores ficam em série, ou se há um divisor de tensão com o capacitor ligado em um nó intermediário, ou outras configurações. Por isso não se pode calcular numericamente R_{eq} neste momento. Se a figura mostrar, por exemplo, R_1 em série com o paralelo de R_2 e R_3, então R_{eq}=R_1+\frac{R_2 R_3}{R_2+R_3}.Mas isso é somente um exemplo de uma topologia possível; é necessário confirmar com a figura real.

Passo 3

Equação de carregamento do capacitor e definição das grandezas envolvidas (aula curta de teoria):
  • Quando um capacitor carrega num circuito linear do tipo Thevenin V_{\text{th}} em série com R_{\text{th}}, a carga no capacitor varia com o tempo segundo q(t)=q_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right),onde:
    • q(t) é a carga no instante t.
    • q_{\infty} é a carga em regime estacionário (quando t\to\infty).
    • \tau é a constante de tempo do circuito, dada por \tau=R_{\text{th}}\,C.
  • Além disso, q_{\infty}=C\,V_{\text{th}}, onde V_{\text{th}} é a tensão de Thevenin (a tensão de circuito aberto) vista pelo capacitor quando a chave está fechada.
  • Variáveis definidas claramente:
    • R_{\text{th}} (ou R_{eq}): resistência equivalente vista pelo capacitor (em ohms).
    • C: capacitância do capacitor (em farads).
    • V_{\text{th}}: tensão de Thevenin (em volts).
    • \tau: constante de tempo (em segundos).

Passo 4

Usar a condição numérica dada q(5{,}00\\ \mathrm{s})=0{,}630\,q_{\infty} para obter \tau.
  • Substituindo na equação: \frac{q(5{,}00\\ \mathrm{s})}{q_{\infty}}=1-e^{-5{,}00/\tau}=0{,}630.
  • Isolando o expoente: e^{-5{,}00/\tau}=1-0{,}630=0{,}370.
  • Tomando logaritmo natural: -\frac{5{,}00}{\tau}=\ln(0{,}370)\quad\Rightarrow\quad \tau=-\dfrac{5{,}00}{\ln(0{,}370)}.
  • Calculemos numericamente \tau (usar três algarismos significativos):
    • \ln(0{,}370)\approx -0{,}994252.
    • Portanto \tau\approx -\dfrac{5{,}00}{-0{,}994252}=5{,}03\\ \mathrm{s}.
    • Resultado com três algarismos significativos: \tau=5{,}03\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Expressão para C em função de \tau e R_{eq}; como obter C numericamente quando R_{eq} for conhecido.
  • Relação básica: \tau=R_{eq}\,C \quad\Rightarrow\quad C=\dfrac{\tau}{R_{eq}}.
  • Substituindo o valor numérico obtido para \tau: C=\dfrac{5{,}03\\ \mathrm{s}}{R_{eq}}.Aqui R_{eq} deve estar em ohms para que C venha em farads.
  • Interpretação prática: assim que a figura for conhecida e for calculado R_{eq} (usando o procedimento do Passo 2), basta dividir 5{,}03\\ \mathrm{s} por esse R_{eq} (em \Omega) para obter C em farads. Exemplo ilustrativo (apenas ilustrativo — não assumir sem a figura): se por hipótese R_{eq}=10{,}0\\ \mathrm{k}\Omega=1{,}00\times10^{4}\\ \Omega, então C=\dfrac{5{,}03}{1{,}00\times10^{4}}=5{,}03\times10^{-4}\\ \mathrm{F}=503\\ \mu\mathrm{F}.Mas isso é só um exemplo numérico que depende do valor real de R_{eq} obtido a partir da topologia verdadeira do circuito.

Passo 6

Resumo prático do que você deve fazer quando tiver a figura (passos que fará rapidamente na prova):
  1. Identificar os terminais do capacitor e, com a chave na posição correspondente a t=0^+, desligar a fonte (curto-circuitar a bateria ideal).
  2. Calcular R_{eq} entre os terminais do capacitor usando série/paralelo.
  3. Usar \tau=5{,}03\\ \mathrm{s} (valor que já encontramos a partir da condição q=0{,}630\,q_{\infty}).
  4. Calcular C=\tau/R_{eq} e apresentar em farads (ou em \mu\mathrm{F}, se for mais conveniente), com três algarismos significativos.
  • Palavra de incentivo: você já tem a parte mais trabalhosa feita — o valor de \tau — e só falta aplicar a regra de resistências na topologia correta da figura. Dá pra resolver rápido no caderno quando a figura estiver à mão!

Resposta

(a) Não é possível determinar numericamente R_{eq} sem a figura do circuito (é necessário conhecer a topologia para calcular a resistência de Thevenin entre os terminais do capacitor).
(b) \displaystyle C=\dfrac{5{,}03\\ \mathrm{s}}{R_{eq}} (com R_{eq} em ohms; \tau=5{,}03\\ \mathrm{s} obtido de q(5{,}00\\ \mathrm{s})=0{,}630\,q_{\infty}).

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