Nas questões abaixo, utilize unidades SI e apresente três algarismos significativos quando pertinente. Respostas devem estar na folha de rascunho à caneta, com justificativa.
Questão 1. ( 2,5 pontos) Um fio condutor longo é constituído de um núcleo cilíndrico maciço de raio
revestido por uma camada isolante concêntrica que vai de
até
. As duas regiões (núcleo e revestimento) são feitas de materiais diferentes com resistividades
e
, respectivamente. O comprimento do fio é
. Aplica-se uma diferença de potencial de
entre suas extremidades.
(a) (1,0 ponto) Calcule a resistência total equivalente do fio (núcleo em paralelo com a capa), considerando as duas regiões como resistores em paralelo ao longo de
. Escreve a resposta com apenas 3 algarismos significativos. A resistência da capa isolante é relevante?
(b) (
ponto) Calcule a corrente total
e determine a densidade de corrente uniforme
apenas no núcleo.
(c) ( 0,75 ponto) Sabendo que a densidade de portadores no material do núcleo é
, encontre a velocidade de deriva
no núcleo. (Use
).
Questão 1. ( 2,5 pontos) Um fio condutor longo é constituído de um núcleo cilíndrico maciço de raio
(a) (1,0 ponto) Calcule a resistência total equivalente do fio (núcleo em paralelo com a capa), considerando as duas regiões como resistores em paralelo ao longo de
(b) (
(c) ( 0,75 ponto) Sabendo que a densidade de portadores no material do núcleo é
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os valores do enunciado).
Dados:
- raio do núcleo:
. - raio externo da capa:
. - comprimento do fio:
. - resistividade do núcleo:
. - resistividade da capa isolante:
. - diferença de potencial aplicada:
. - densidade de portadores no núcleo (usada na parte (c)):
. - carga do elétron:
(valor padrão).
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a resistência total equivalente do fio (núcleo em paralelo com a capa) e dizer se a resistência da capa isolante é relevante.
(b) Calcular a corrente total e a densidade de corrente uniforme
apenas no núcleo.
(c) Calcular a velocidade de deriva no núcleo usando
.
(a) Calcular a resistência total equivalente do fio (núcleo em paralelo com a capa) e dizer se a resistência da capa isolante é relevante.
(b) Calcular a corrente total
(c) Calcular a velocidade de deriva
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- A resistência de um condutor com comprimento
, resistividade e área da secção transversal é dada por
onde
tem unidades de
,
de
,
de m e
de
. Isso vem da definição de resistividade: quanto maior a área, menor a resistência; quanto maior o comprimento e/ou a resistividade, maior a resistência.
- Para um núcleo cilíndrico maciço a área da secção é
- Para a capa em forma de casca cilíndrica (anel) a área da secção transversal é
- Se dois condutores estão paralelos entre as mesmas extremidades (mesma diferença de potencial), a resistência equivalente
é obtida por
- A corrente total é dada pela lei de Ohm
- A densidade de corrente em uma área uniforme é
- A relação entre densidade de corrente, densidade de portadores e velocidade de deriva é
onde
é o número de portadores por unidade de volume,
é a carga elementar e
é a velocidade de deriva média dos portadores.
Agora vamos aplicar essas fórmulas numericamente, passo a passo, calculando as áreas e as resistências individuais.
Passo 3
Cálculo das áreas das secções transversais.
Área do núcleo:
Área da capa (anel):
(Expliquei como obter as áreas: quadrado dos raios subtraído no caso do anel;
vem da área do círculo.)
Passo 4
Cálculo das resistências individuais usando
.
Resistência do núcleo:
Resistência da capa isolante:
Observação didática:
é imensamente maior do que
porque
é gigantescamente maior (material isolante). Portanto espera-se que quase toda a corrente passe pelo núcleo.
Passo 5
Cálculo da resistência equivalente em paralelo:
Como
é muito maior que
,
é desprezível diante de
. Calculando explicitamente:
O segundo termo é desprezível; assim
Arredondando para três algarismos significativos:
Comentário (resumido): a resistência da capa isolante é irrelevante (pode ser desprezada), pois sua resistência é da ordem de
, muito maior que a do núcleo.
Passo 6
Corrente total
pela lei de Ohm:
Com três algarismos significativos:
Corrente no núcleo
: já que
é desprezível, praticamente toda a corrente passa pelo núcleo; para ser completo:
Densidade de corrente uniforme no núcleo:
Com três algarismos significativos:
Passo 7
Velocidade de deriva
no núcleo usando
. Resolvend o para
:
Substituindo os números:
Com três algarismos significativos:
Interpretação rápida e motivadora: essa velocidade de deriva é muito pequena (da ordem de centímetros por segundo), o que é típico em condutores metálicos: os elétrons se deslocam lentamente, mesmo quando a corrente é grande — a propagação do sinal é outra questão, mas a velocidade média dos portadores é baixíssima.
Resposta
(a)
. A resistência da capa isolante é irrelevante.
(b) ,
.
(c) .
(b)
(c)