Nas questões abaixo, utilize unidades SI e apresente três algarismos significativos quando pertinente. Respostas devem estar na folha de rascunho à caneta, com justificativa.
Questão 1. ( 2,5 pontos) Um fio condutor longo é constituído de um núcleo cilíndrico maciço de raio a=1,20 \mathrm{~mm} revestido por uma camada isolante concêntrica que vai de r=a até r=b=2,40 \mathrm{~mm}. As duas regiões (núcleo e revestimento) são feitas de materiais diferentes com resistividades \rho_{1}=1,70 \times 10^{-8} \Omega \mathrm{~m} e \rho_{2}=3,40 \times 10^{18} \Omega \mathrm{~m}, respectivamente. O comprimento do fio é L=2,50 \mathrm{~m}. Aplica-se uma diferença de potencial de \Delta V=10,0 \mathrm{~V} entre suas extremidades.
(a) (1,0 ponto) Calcule a resistência total equivalente do fio (núcleo em paralelo com a capa), considerando as duas regiões como resistores em paralelo ao longo de L. Escreve a resposta com apenas 3 algarismos significativos. A resistência da capa isolante é relevante?
(b) ( \mathbf{0 , 7 5} ponto) Calcule a corrente total i e determine a densidade de corrente uniforme J_{1} apenas no núcleo.
(c) ( 0,75 ponto) Sabendo que a densidade de portadores no material do núcleo é n=8,5 \times 10^{28} \mathrm{~m}^{-3}, encontre a velocidade de deriva v_{d} no núcleo. (Use J=n e v_{d} ).

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os valores do enunciado).
Dados:
  • raio do núcleo: a=1{,}20\\ \mathrm{mm}=1{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • raio externo da capa: b=2{,}40\\ \mathrm{mm}=2{,}40\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • comprimento do fio: L=2{,}50\\ \mathrm{m}.
  • resistividade do núcleo: \rho_{1}=1{,}70\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • resistividade da capa isolante: \rho_{2}=3{,}40\times10^{18}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • diferença de potencial aplicada: \Delta V=10{,}0\\ \mathrm{V}.
  • densidade de portadores no núcleo (usada na parte (c)): n=8{,}5\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • carga do elétron: e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (valor padrão).
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a resistência total equivalente do fio (núcleo em paralelo com a capa) e dizer se a resistência da capa isolante é relevante.
(b) Calcular a corrente total i e a densidade de corrente uniforme J_{1} apenas no núcleo.
(c) Calcular a velocidade de deriva v_{d} no núcleo usando J=n e v_{d}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • A resistência de um condutor com comprimento L, resistividade \rho e área da secção transversal A é dada por
R=\frac{\rho\,L}{A},
onde R tem unidades de \Omega, \rho de \Omega\cdot\mathrm{m}, L de m e A de \mathrm{m^2}. Isso vem da definição de resistividade: quanto maior a área, menor a resistência; quanto maior o comprimento e/ou a resistividade, maior a resistência.
  • Para um núcleo cilíndrico maciço a área da secção é
A_{1}=\pi a^{2}.
  • Para a capa em forma de casca cilíndrica (anel) a área da secção transversal é
A_{2}=\pi(b^{2}-a^{2}).
  • Se dois condutores estão paralelos entre as mesmas extremidades (mesma diferença de potencial), a resistência equivalente R_{\text{eq}} é obtida por
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}.
  • A corrente total é dada pela lei de Ohm
i=\frac{\Delta V}{R_{\text{eq}}}.
  • A densidade de corrente em uma área uniforme é
J=\frac{i_{\text{na\\ área}}}{A}.á
  • A relação entre densidade de corrente, densidade de portadores e velocidade de deriva é
J=n e v_{d},
onde n é o número de portadores por unidade de volume, e é a carga elementar e v_{d} é a velocidade de deriva média dos portadores.
Agora vamos aplicar essas fórmulas numericamente, passo a passo, calculando as áreas e as resistências individuais.

Passo 3

Cálculo das áreas das secções transversais.
Área do núcleo:
A_{1}=\pi a^{2}=\pi\left(1{,}20\times10^{-3}\right)^{2} =\pi\cdot1{,}44\times10^{-6} =4{,}523893421\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Área da capa (anel):
A_{2}=\pi(b^{2}-a^{2})=\pi\bigl((2{,}40\times10^{-3})^{2}-(1{,}20\times10^{-3})^{2}\bigr) =\pi\cdot4{,}32\times10^{-6} =1{,}357168026\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
(Expliquei como obter as áreas: quadrado dos raios subtraído no caso do anel; \pi vem da área do círculo.)

Passo 4

Cálculo das resistências individuais usando R=\rho L/A.
Resistência do núcleo:
R_{1}=\frac{\rho_{1}L}{A_{1}} =\frac{1{,}70\times10^{-8}\times2{,}50}{4{,}523893421\times10^{-6}} =9{,}39365\times10^{-3}\\ \Omega.
Resistência da capa isolante:
R_{2}=\frac{\rho_{2}L}{A_{2}} =\frac{3{,}40\times10^{18}\times2{,}50}{1{,}357168026\times10^{-5}} =6{,}26360\times10^{23}\\ \Omega.
Observação didática: R_{2} é imensamente maior do que R_{1} porque \rho_{2} é gigantescamente maior (material isolante). Portanto espera-se que quase toda a corrente passe pelo núcleo.

Passo 5

Cálculo da resistência equivalente em paralelo:
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}.
Como R_{2} é muito maior que R_{1}, 1/R_{2} é desprezível diante de 1/R_{1}. Calculando explicitamente:
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{9{,}39365\times10^{-3}}+\frac{1}{6{,}26360\times10^{23}} \approx 106{,}448\\ \Omega^{-1} + 1{,}596\times10^{-24}\\ \Omega^{-1}.
O segundo termo é desprezível; assim
R_{\text{eq}}\approx R_{1}=9{,}39365\times10^{-3}\\ \Omega.
Arredondando para três algarismos significativos:
R_{\text{eq}}=9{,}39\times10^{-3}\\ \Omega.
Comentário (resumido): a resistência da capa isolante é irrelevante (pode ser desprezada), pois sua resistência é da ordem de 10^{23}\\ \Omega, muito maior que a do núcleo.

Passo 6

Corrente total i pela lei de Ohm:
i=\frac{\Delta V}{R_{\text{eq}}}=\frac{10{,}0}{9{,}39365\times10^{-3}}=1{,}06489\times10^{3}\\ \mathrm{A}.
Com três algarismos significativos:
i=1{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{A}.
Corrente no núcleo i_{1}: já que R_{2} é desprezível, praticamente toda a corrente passa pelo núcleo; para ser completo:
i_{1}=\frac{\Delta V}{R_{1}}=\frac{10{,}0}{9{,}39365\times10^{-3}}=1{,}06489\times10^{3}\\ \mathrm{A}.
Densidade de corrente uniforme no núcleo:
J_{1}=\frac{i_{1}}{A_{1}}=\frac{1{,}06489\times10^{3}}{4{,}523893421\times10^{-6}} =2{,}35341\times10^{8}\\ \mathrm{A\!/m^{2}}.
Com três algarismos significativos:
J_{1}=2{,}35\times10^{8}\\ \mathrm{A\!/m^{2}}.

Passo 7

Velocidade de deriva v_{d} no núcleo usando J=n e v_{d}. Resolvend o para v_{d}:
v_{d}=\frac{J_{1}}{n e}.
Substituindo os números:
v_{d}=\frac{2{,}35341\times10^{8}}{8{,}5\times10^{28}\times1{,}602176634\times10^{-19}} =\frac{2{,}35341\times10^{8}}{1{,}361850139\times10^{10}} =1{,}72868\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Com três algarismos significativos:
v_{d}=1{,}73\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida e motivadora: essa velocidade de deriva é muito pequena (da ordem de centímetros por segundo), o que é típico em condutores metálicos: os elétrons se deslocam lentamente, mesmo quando a corrente é grande — a propagação do sinal é outra questão, mas a velocidade média dos portadores é baixíssima.

Resposta

(a) R_{\mathrm{eq}}=9{,}39\times10^{-3}\\ \Omega. A resistência da capa isolante é irrelevante.
(b) i=1{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{A}, \;J_{1}=2{,}35\times10^{8}\\ \mathrm{A\!/m^{2}}.
(c) v_{d}=1{,}73\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.

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