Circulação I. Seja J um campo vetorial tal que J(r)=J0(-y i+x j) / r^2. (b) Calcule agora a circulação ao longo de um caminho composto pelas arestas de um quadrado de lado 2 R centrado na origem do plano x y. A circulação obtida é a mesma do item anterior?

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a circulação do campo
,
onde , ao redor de um quadrado de lado centrado na origem no plano .
Conteúdo: cálculo de integral de linha (circulação) de um campo vetorial.
Vamos precisar:
  1. Escrever a circulação como com
    ,
    .
  2. Parametrizar cada aresta do quadrado e integrar .

Passo 2

Parametrização das quatro arestas (sentido anti-horário):
  1. Aresta inferior: oint1 P,dx+Q,dy =integral-R^R!P(x,-R),dx =integral-R^R! l[-J0(-R)x^2+R^2r]dx =J0Rintegral-R^Rdxx^2+R^2 , integral-R^Rdxx^2+R^2 =1Rl[arctan(1)-arctan(-1)r] =1Rl(tfracpi4-(-tfracpi4)r) =pi2R de a . Então
    , e A primitiva de é , logo Então a aresta 1 dá

Passo 3

Agora as outras três arestas têm a mesma estrutura:
2) Aresta direita: , , , ,

3) Aresta superior: , , , ,
,
4) Aresta esquerda: , , , ,
,

Passo 4

Bastou somar as 4 contribuições iguais:
pi J02 + pi J02 + pi J02 + pi J02 =2pi J0
No item anterior (círculo de raio ) também deu , então a circulação é a mesma.

Resposta

A circulação ao longo do quadrado vale
,
igual ao resultado do item anterior.

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