Circulação I. Seja J um campo vetorial tal que
. (b) Calcule agora a circulação ao longo de um caminho composto pelas arestas de um quadrado de lado
centrado na origem do plano
. A circulação obtida é a mesma do item anterior?
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra calcular a circulação do campo
,
onde , ao redor de um quadrado de lado
centrado na origem no plano
.
Conteúdo: cálculo de integral de linha (circulação) de um campo vetorial.
Vamos precisar:
onde
Conteúdo: cálculo de integral de linha (circulação) de um campo vetorial.
Vamos precisar:
- Escrever a circulação como
com
,
. - Parametrizar cada aresta do quadrado e integrar
.
Passo 2
Parametrização das quatro arestas (sentido anti-horário):
- Aresta inferior:
, de a . Então
, e A primitiva de é , logo Então a aresta 1 dá
Passo 3
Agora as outras três arestas têm a mesma estrutura:
2) Aresta direita: ,
,
,
,
3) Aresta superior: ,
,
,
,
,
4) Aresta esquerda: ,
,
,
,
,
2) Aresta direita:
3) Aresta superior:
4) Aresta esquerda:
Passo 4
Bastou somar as 4 contribuições iguais:
No item anterior (círculo de raio
) também deu
, então a circulação é a mesma.
Resposta
A circulação ao longo do quadrado vale
,
igual ao resultado do item anterior.
igual ao resultado do item anterior.