Continuidade dos campos na eletrostática de meios materiais I. Quando inserimos uma carga q (concentrada em um volume de ) em um meio dielétrico neutro, criamos uma densidade de dipólos no dielétrico chamada de polarização elétrica. Nessa situação, a Lei de Gauss fica
ointA D cdot n d A=q, onde D=epsilon0 E+P,
é o deslocamento elétrico, em termos do campo eletrostático E e da polarização elétrica P. (a) Use o teorema da divergência para mostrar que nessa situação nabla cdot D= rho, onde rho denota a densidade de carga.

Passo 1

Beleza, o que a questão diz é o seguinte: num dielétrico neutro a gente insere uma carga pontual D ;=;epsilon0,E ;+;P (ou espalhada num voluminho ointADcdotn,dA ;=; q ), o meio polariza e aparece o deslocamento elétrico
nablacdotD ;=;rho,
A Lei de Gauss para fica
O que precisamos mostrar é, usando o Teorema da Divergência, que isso vira na forma local
onde é a densidade de carga (livre) no volume.

Passo 2

Lembra do Teorema da Divergência (ou Gauss): para qualquer campo vetorial ointADcdotn,dA ;=;integralVl(nablacdotDr),dV e volume qualquer q ;=;integralVrho,dV com superfície , vale
Em paralelo, a carga total contida em pode ser escrita em termos da densidade de carga:

Passo 3

Agora é só igualar as duas expressões da Lei de Gauss:
ointADcdotn,dA ;=;integralVnablacdotD,dV e ointADcdotn,dA ;=;q ;=;integralVrho,dV
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integralVnablacdotD,dV ;=;integralVrho,dV
Como nablacdotD( r) ;=;rho(r) é um volume qualquer, pra essas duas integrais baterem ponto a ponto a gente precisa de
em todo lugar.

Resposta

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