Continuidade dos campos na eletrostática de meios materiais I. Quando inserimos uma carga
(concentrada em um volume
) em um meio dielétrico neutro, criamos uma densidade de dipólos no dielétrico chamada de polarização elétrica. Nessa situação, a Lei de Gauss fica
é o deslocamento elétrico, em termos do campo eletrostático
e da polarização elétrica
. (a) Use o teorema da divergência para mostrar que nessa situação
, onde
denota a densidade de carga.
Passo 1
Beleza, o que a questão diz é o seguinte: num dielétrico neutro a gente insere uma carga pontual
(ou espalhada num voluminho
), o meio polariza e aparece o deslocamento elétrico
A Lei de Gauss para
fica
O que precisamos mostrar é, usando o Teorema da Divergência, que isso vira na forma local
onde
é a densidade de carga (livre) no volume.
Passo 2
Lembra do Teorema da Divergência (ou Gauss): para qualquer campo vetorial
e volume qualquer
com superfície
, vale
Em paralelo, a carga total
contida em
pode ser escrita em termos da densidade de carga:
Passo 3
Agora é só igualar as duas expressões da Lei de Gauss:
Logo
Como
é um volume qualquer, pra essas duas integrais baterem ponto a ponto a gente precisa de
em todo lugar.