Fluido ideal e Conservação da Entropia. Em Mecânica de Fluidos, com frequência se utiliza a aproximação do fluido ideal em que os efeitos de viscosidade e condução térmica são desprezíveis. Nessas condições, o campo escalar , que denota a entropia por unidade de massa, permanece constante, ou seja, . (b) Combinando a equação anterior com a equação de continuidade para a densidade de massa (ver Lista 2), mostre que
Dica: utilize as identidades vetoriais e . Obs.: A equação diferencial anterior é uma equação de continuidade para a densidade volumétrica s de entropia e é o fluxo de entropia.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: num fluido ideal (sem viscosidade nem condução de calor) a entropia por unidade de massa é constante ao longo da trajetória de cada partícula, ou seja
Também temos a equação de continuidade para a densidade :
O que pedem é juntar essas duas para mostrar que
Conteúdo: mecânica de fluidos (derivada material e continuidade) e umas identidades vetoriais simples. Vamos precisar usar
e .
Passo 2
Primeiro, escrevemos a derivada material de :
Isso é a ideia de derivada material: mais o transporte pelo campo de velocidade .
Passo 3
Multiplicamos essa equação por :
Passo 4
Agora, pegamos a equação de continuidade s,partial rhopartial t + s,nablacdot(rho v)=0 tag2
e multiplicamos por :
Passo 5
Somamos as duas equações (1) + (2):
rho,partial spartial t + rho, vcdotnabla s + s,partial rhopartial t + s,nablacdot(rho v) =0
Reagrupando os termos de derivada temporal:
partial rhopartial t,s + rho,partial spartial t =partialpartial t(rho,s)
e os termos espaciais:
s,nablacdot(rho v) + rho, vcdotnabla s
Passo 6
Para o pedacinho espacial a gente usa a identidade
nablacdot(rho,s, v) = s,nablacdot(rho v) + (rho v)cdotnabla s = s,nablacdot(rho v) + rho, vcdotnabla s
Logo, aquele somatório dos termos espaciais é exatamente .
Resposta
Logo, juntando tudo dá
partialpartial t(rho,s) +nablacdot(rho,s, v) =0,
ou seja
boxed partialpartial t(rho s)+nablacdot Js=0, Js=rho,s, v