Fluido ideal e Conservação da Entropia. Em Mecânica de Fluidos, com frequência se utiliza a aproximação do fluido ideal em que os efeitos de viscosidade e condução térmica são desprezíveis. Nessas condições, o campo escalar s(r, t), que denota a entropia por unidade de massa, permanece constante, ou seja, d s / d t=0. (b) Combinando a equação anterior com a equação de continuidade para a densidade de massa rho(r, t) (ver Lista 2), mostre que
partialpartial t(rho s)+nabla cdot Js=0, onde Js(r, t)=rho(r, t) s(r, t) v(r, t)
Dica: utilize as identidades vetoriais nabla(f g)=f nabla g+g nabla f e nabla cdot(f F)=f nabla cdot F+ F cdot nabla f. Obs.: A equação diferencial anterior é uma equação de continuidade para a densidade volumétrica rho s de entropia e Js é o fluxo de entropia.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: num fluido ideal (sem viscosidade nem condução de calor) a entropia por unidade de massa d sd t=0 é constante ao longo da trajetória de cada partícula, ou seja
partial rhopartial t + nablacdot(rho v)=0
Também temos a equação de continuidade para a densidade partialpartial t(rho s)+nablacdot Js=0, Js=rho,s, v :
O que pedem é juntar essas duas para mostrar que
Conteúdo: mecânica de fluidos (derivada material e continuidade) e umas identidades vetoriais simples. Vamos precisar usar

e
.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a derivada material de d sd t =partial spartial t+ vcdotnabla s =0 :
Isso é a ideia de derivada material: mais o transporte pelo campo de velocidade .

Passo 3

Multiplicamos essa equação por rhopartial spartial t + rho, vcdotnabla s=0 tag1 :

Passo 4

Agora, pegamos a equação de continuidade
s,partial rhopartial t + s,nablacdot(rho v)=0 tag2
e multiplicamos por :

Passo 5

Somamos as duas equações (1) + (2):
rho,partial spartial t + rho, vcdotnabla s + s,partial rhopartial t + s,nablacdot(rho v) =0
Reagrupando os termos de derivada temporal:
partial rhopartial t,s + rho,partial spartial t =partialpartial t(rho,s)
e os termos espaciais:
s,nablacdot(rho v) + rho, vcdotnabla s

Passo 6

Para o pedacinho espacial a gente usa a identidade
nablacdot(rho,s, v) = s,nablacdot(rho v) + (rho v)cdotnabla s = s,nablacdot(rho v) + rho, vcdotnabla s
Logo, aquele somatório dos termos espaciais é exatamente .

Resposta

Logo, juntando tudo dá
partialpartial t(rho,s) +nablacdot(rho,s, v) =0,
ou seja
boxed partialpartial t(rho s)+nablacdot Js=0, Js=rho,s, v

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