Suponha que a série de potências sum ak(x+1)^k convirja em x=0 e divirja em x=-2. Assinale as alternativas abaixo com V, caso verdadeira, com F, caso seja falsa e com I, caso não seja possível afirmar a veracidade ou falsidade da afirmação.
( ) O centro do intervalo de convergência da série é x0=-1.
( ) A série numérica sum ak diverge.
( ) A série numérica sum(-1)^k ak converge.
( ) A série numérica sum ak2^k converge.
( ) A série numérica sum(-1)^k ak2^k diverge.

Passo 1

Temos a série de potências centrada em x₀=–1,
precisamos usar convergência em x=0 e divergência em x=–2 para achar o raio de convergência R e então testar as séries numéricas.

Passo 2

Em x=0 a série é ∑ aₖ·(0+1)ᵏ = ∑ aₖ e ela converge, logo |0+1|=1 ≤ R ⇒ R ≥ 1. Em x=–2 a série é ∑ aₖ·(–2+1)ᵏ = ∑ (–1)ᵏ aₖ e diverge, logo |–2+1|=1 ≥ R ⇒ R ≤ 1. Concluímos que R=1.

Passo 3

O item 1 diz que o centro do intervalo de convergência é x₀=–1. Isso está correto, pois a série está em potências de (x+1).

Passo 4

O item 2 pergunta se ∑ aₖ diverge. Mas ∑ aₖ é exatamente o caso x=0, onde a série converge. Logo é falso que diverge.

Passo 5

O item 3 pergunta se ∑ (–1)ᵏ aₖ converge. Mas ∑ (–1)ᵏ aₖ é o caso x=–2, onde diverge. Logo é falso que converge.

Passo 6

O item 4 pergunta se ∑ aₖ/2ᵏ converge. Isso equivale a x tal que x+1=1/2, ou seja |1/2|<1 está dentro do raio, então converge. É verdadeiro.

Passo 7

O item 5 pergunta se ∑ (–1)ᵏ (aₖ/2ᵏ) diverge. Isso equivale a x tal que x+1=–1/2, com |–1/2|<1 também dentro do raio, então converge. É falso que diverge.

Resposta

V, F, F, V, F

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