Calcule determinante
(b) |cccc2 & 1 & 3 & 2 3 & 0 & 1 & -2 1 & -1 & 4 & 3 2 & 2 & -1 & 1|

Passo 1

Beleza, temos que calcular o determinante de uma matriz 4x4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, já que estamos lidando com uma matriz grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante. O determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para matrizes 4x4, uma maneira prática de calcular o determinante é usando a expansão por cofatores.

Passo 3

Vamos escolher expandir a matriz pela primeira linha para facilitar os cálculos. A primeira linha da nossa matriz é [2, 1, 3, 2]. A fórmula para o determinante usando cofatores é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
onde são os cofatores.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada cofator 0 & 1 & -2 -1 & 4 & 3 2 & -1 & 1 para j = 1, 2, 3, 4.
Cofator det = 0 cdot (4 cdot 1 - 3 cdot (-1)) - 1 cdot (-1 cdot 1 - 3 cdot 2) + (-2) cdot (-1 cdot (-1) - 4 cdot 2) :
Removendo a primeira linha e primeira coluna, a matriz fica:
det = 0 - 1 cdot (-1 - 6) + (-2) cdot (1 - 8)
Calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
det = 0 + 7 + (-2) cdot (-7) = 0 + 7 + 14 = 21
3 & 1 & -2 1 & 4 & 3 2 & -1 & 1
det = 3 cdot (4 cdot 1 - 3 cdot (-1)) - 1 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot 2) + (-2) cdot (1 cdot (-1) - 4 cdot 2)
Então, det = 3 cdot (4 + 3) - 1 cdot (1 - 6) + (-2) cdot (-1 - 8) .
Cofator det = 3 cdot 7 + 5 + 18 = 21 + 5 + 18 = 44 :
Removendo a primeira linha e segunda coluna, a matriz fica:
3 & 0 & -2 1 & -1 & 3 2 & 2 & 1
Calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
det = 3 cdot (-1 cdot 1 - 3 cdot 2) - 0 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot 2) + (-2) cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot 2)
det = 3 cdot (-1 - 6) - 0 + (-2) cdot (2 + 2)
det = 3 cdot (-7) + (-2) cdot 4 = -21 - 8 = -29
Então, 3 & 0 & 1 1 & -1 & 4 2 & 2 & -1 .
Cofator det = 3 cdot (-1 cdot (-1) - 4 cdot 2) - 0 cdot (1 cdot (-1) - 4 cdot 2) + 1 cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot 2) :
Removendo a primeira linha e terceira coluna, a matriz fica:
det = 3 cdot (1 - 8) - 0 + 1 cdot (2 + 2)
Calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
det = 3 cdot (-7) + 4 = -21 + 4 = -17
Então, .
Cofator :
Removendo a primeira linha e quarta coluna, a matriz fica:
Calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos os cofatores na fórmula do determinante:
det(A) = 2 cdot 21 + 1 cdot (-44) + 3 cdot 29 + 2 cdot (-17)
det(A) = 42 - 44 + 87 - 34
det(A) = 42 - 44 = -2
-2 + 87 = 85
85 - 34 = 51

Resposta

O determinante da matriz dada é 51.

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