Considere os pontos D=(0,1,4), E=(-4,1,2), F=(3,-4,2), G=(1,-3,-1).
Determine a equação cartesiana do plano que contém D, E e F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três pontos no espaço: $ D = (0,1,4) $, $ E = (-4,1,2) $ e $ F = (3,-4,2) $. Nosso objetivo é encontrar a equação de um plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores $ \vec{DE} $ e $ \vec{DF} $.
DE
DF

Passo 3

Agora que temos os vetores $ \vec{DE} $ e $ \vec{DF} $, vamos encontrar um vetor normal ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial entre $ \vec{DE} $ e $ \vec{DF} $. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
DE
Calculando o determinante:
DF
DE
DF

Passo 4

Agora que temos o vetor normal $ \vec{n} = (-10, -14, 20) $, podemos usar a equação geral do plano:
n = (-10, -14, 20)
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ é um dos pontos dados. Vamos usar o ponto $ D = (0,1,4) $:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Simplificando:
(a, b, c)
(x0, y0, z0)
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -2:
D = (0,1,4)

Resposta

A equação cartesiana do plano que contém os pontos $ D, E $ e $ F $ é:
D, E

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