O círculo centrado em A=(-1,2) de raio 3 é tangente a retas paralelas a (2+t, 3-2 t), t in R.
Determine a equação de tais retas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um círculo centrado no ponto A = (-1, 2) com raio 3. Queremos encontrar as equações das retas que são paralelas à reta dada pela parametrização (2 + t, 3 - 2t) e que são tangentes a esse círculo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a equação da reta que está na parametrização (2 + t, 3 - 2t). Para isso, eliminamos o parâmetro t:
x = 2 + t Rightarrow t = x - 2
Substituindo t na equação de y:
y = 3 - 2t = 3 - 2(x - 2) = 3 - 2x + 4 = 7 - 2x
Então, a equação da reta é:
y = -2x + 7 ou 2x + y - 7 = 0

Passo 3

Como queremos retas paralelas, elas terão a mesma inclinação que a reta original. A inclinação da reta y = -2x + 7 é -2. Portanto, as retas paralelas terão a forma:
2x + y + C = 0
Aqui, C é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Para que a reta seja tangente ao círculo, a distância do centro do círculo à reta precisa ser igual ao raio do círculo. A fórmula da distância de um ponto (x0, y0) à reta ax + by + c = 0 é:
Distância = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2 â
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Ponto central do círculo: A = (-1, 2)
  • Equação da reta: 2x + y + C = 0
  • Raio do círculo: 3
Substituindo na fórmula:
|2(-1) + 1(2) + C|raiz2^2 + 1^2 = 3
Simplificando:
|-2 + 2 + C|raiz5 = 3 Rightarrow |C|raiz5 = 3 Rightarrow |C| = 3raiz5
Então, C pode ser 3raiz5 ou -3raiz5.

Resposta

As equações das retas tangentes são:
2x + y - 3raiz5 = 0 e 2x + y + 3raiz5 = 0

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