O círculo centrado em
de raio 3 é tangente a retas paralelas a
.
Determine a equação de tais retas.
Determine a equação de tais retas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um círculo centrado no ponto
com raio
. Queremos encontrar as equações das retas que são paralelas à reta dada pela parametrização
e que são tangentes a esse círculo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente a distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a equação da reta que está na parametrização
. Para isso, eliminamos o parâmetro
:
Substituindo
na equação de
:
Então, a equação da reta é:
Passo 3
Como queremos retas paralelas, elas terão a mesma inclinação que a reta original. A inclinação da reta
é
. Portanto, as retas paralelas terão a forma:
Aqui,
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Para que a reta seja tangente ao círculo, a distância do centro do círculo à reta precisa ser igual ao raio do círculo. A fórmula da distância de um ponto
à reta
é:
Aplicando isso ao nosso caso:
- Ponto central do círculo:
- Equação da reta:
- Raio do círculo:
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Então,
pode ser
ou
.
Resposta
As equações das retas tangentes são: