Na seção 8.2 do livro texto Thornton-Marion, foi mostrado que o movimento de dois corpos interagindo um com o outro apenas através de forças centrais poderia ser reduzido a um problema equivalente de um corpo. Mostre por cálculo explicito que tal redução é também possível para corpos movendo-se em um campo gravitacional externo uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente está falando sobre como, quando dois corpos interagem apenas por forças centrais (tipo a força da gravidade entre a Terra e a Lua), dá pra simplificar o problema transformando esses dois corpos em um problema equivalente de um único corpo. Isso é o que é discutido na seção 8.2 do livro do Thornton-Marion. Agora, a questão quer que a gente mostre, fazendo cálculos explícitos, que essa mesma redução também funciona quando os corpos estão se movendo num campo gravitacional externo que é uniforme. Ou seja, além da interação entre os dois corpos, tem uma gravidade externa agindo de maneira constante. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como o centro de massa e as leis de Newton, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a redução de dois corpos para um só em um sistema sem campo externo. A ideia é separar o movimento do centro de massa do movimento relativo entre os dois corpos.
Para dois corpos com massas $ m_1 $ e $ m_2 $, as posições são $ \mathbf{r}_1 $ e $ \mathbf{r}_2 $. Definimos o centro de massa $ \mathbf{R} $ como:
m1
E a posição relativa $ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 $.

Passo 3

Agora, considerando as forças atuando nos corpos. Se a interação entre eles é central, a força que um exerce sobre o outro depende apenas da posição relativa $ \mathbf{r} $. Além disso, temos um campo gravitacional externo uniforme $ \mathbf{g} $ que atua igualmente em ambos os corpos.
As equações de movimento para cada corpo são:
r
g
Onde $ \mathbf{F}{12} $ é a força que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1, e $ \mathbf{F}{21} = -\mathbf{F}_{12} $ pela terceira lei de Newton.

Passo 4

Vamos somar as duas equações para achar a equação do centro de massa:
m1 ddotr1 + m2 ddotr2 = F12 + F21 + (m1 + m2) g
Como $ \mathbf{F}{12} + \mathbf{F}{21} = 0 $, simplificamos para:
F12 + F21 = 0
Dividindo por $ m_1 + m_2 $:
(m1 + m2) ddotR = (m1 + m2) g
Isso mostra que o centro de massa se move como se toda a massa estivesse sujeita apenas à gravidade externa uniforme $ \mathbf{g} $.

Passo 5

Agora, vamos olhar para o movimento relativo. Subtraindo as duas equações de movimento iniciais:
m1 ddotr1 - m2 ddotr2 = F12 - F21
Sabemos que $ \mathbf{F}{21} = -\mathbf{F}{12} $, então:
F21 = -F12
Mas queremos expressar em termos da posição relativa $ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 $. Calculando a segunda derivada:
m1 ddotr1 - m2 ddotr2 = 2F12
Multiplicando a equação anterior por $ \frac{1}{m_1 + m_2} $:
r = r1 - r2
Definindo a massa reduzida $ \mu $ como:
ddotr = ddotr1 - ddotr2
Então podemos reescrever a equação como:
1m1 + m2

Passo 6

Até aqui, conseguimos separar o movimento do centro de massa e o movimento relativo. Agora, mesmo com a presença do campo gravitacional externo uniforme $ \mathbf{g} $, o centro de massa continua se movendo sob a influência de $ \mathbf{g} $, e o movimento relativo é governado pelas forças internas entre os corpos.
Isso mostra que a redução para um problema de um único corpo ainda é válida, pois conseguimos descrever o sistema como o movimento do centro de massa mais o movimento relativo, mesmo com a presença do campo externo.

Resposta

Portanto, mostramos por cálculos explícitos que é possível reduzir o movimento de dois corpos interagindo por forças centrais a um problema equivalente de um único corpo, mesmo quando esses corpos estão se movendo em um campo gravitacional externo uniforme.

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