Na seção 8.2 do livro texto Thornton-Marion, foi mostrado que o movimento de dois corpos interagindo um com o outro apenas através de forças centrais poderia ser reduzido a um problema equivalente de um corpo. Mostre por cálculo explicito que tal redução é também possível para corpos movendo-se em um campo gravitacional externo uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente está falando sobre como, quando dois corpos interagem apenas por forças centrais (tipo a força da gravidade entre a Terra e a Lua), dá pra simplificar o problema transformando esses dois corpos em um problema equivalente de um único corpo. Isso é o que é discutido na seção 8.2 do livro do Thornton-Marion. Agora, a questão quer que a gente mostre, fazendo cálculos explícitos, que essa mesma redução também funciona quando os corpos estão se movendo num campo gravitacional externo que é uniforme. Ou seja, além da interação entre os dois corpos, tem uma gravidade externa agindo de maneira constante. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como o centro de massa e as leis de Newton, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a redução de dois corpos para um só em um sistema sem campo externo. A ideia é separar o movimento do centro de massa do movimento relativo entre os dois corpos.
Para dois corpos com massas $ m_1 $ e $ m_2 $, as posições são $ \mathbf{r}_1 $ e $ \mathbf{r}_2 $. Definimos o centro de massa $ \mathbf{R} $ como:
E a posição relativa $ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 $.
Passo 3
Agora, considerando as forças atuando nos corpos. Se a interação entre eles é central, a força que um exerce sobre o outro depende apenas da posição relativa $ \mathbf{r} $. Além disso, temos um campo gravitacional externo uniforme $ \mathbf{g} $ que atua igualmente em ambos os corpos.
As equações de movimento para cada corpo são:
Onde $ \mathbf{F}{12} $ é a força que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1, e $ \mathbf{F}{21} = -\mathbf{F}_{12} $ pela terceira lei de Newton.
Passo 4
Vamos somar as duas equações para achar a equação do centro de massa:
Como $ \mathbf{F}{12} + \mathbf{F}{21} = 0 $, simplificamos para:
Dividindo por $ m_1 + m_2 $:
Isso mostra que o centro de massa se move como se toda a massa estivesse sujeita apenas à gravidade externa uniforme $ \mathbf{g} $.
Passo 5
Agora, vamos olhar para o movimento relativo. Subtraindo as duas equações de movimento iniciais:
Sabemos que $ \mathbf{F}{21} = -\mathbf{F}{12} $, então:
Mas queremos expressar em termos da posição relativa $ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 $. Calculando a segunda derivada:
Multiplicando a equação anterior por $ \frac{1}{m_1 + m_2} $:
Definindo a massa reduzida $ \mu $ como:
Então podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Até aqui, conseguimos separar o movimento do centro de massa e o movimento relativo. Agora, mesmo com a presença do campo gravitacional externo uniforme $ \mathbf{g} $, o centro de massa continua se movendo sob a influência de $ \mathbf{g} $, e o movimento relativo é governado pelas forças internas entre os corpos.
Isso mostra que a redução para um problema de um único corpo ainda é válida, pois conseguimos descrever o sistema como o movimento do centro de massa mais o movimento relativo, mesmo com a presença do campo externo.
Resposta
Portanto, mostramos por cálculos explícitos que é possível reduzir o movimento de dois corpos interagindo por forças centrais a um problema equivalente de um único corpo, mesmo quando esses corpos estão se movendo em um campo gravitacional externo uniforme.