Considere um corpo submetido a um campo de força central, isto é, onde F=F(r) r.
Mostre que neste campo o momento angular L é conservado. Deste resultado mostre que o movimento deste corpo ocorre num plano

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, num campo de força central onde a força depende só da distância e aponta radialmente ( F = F(r) r), o momento angular ( L) do corpo é conservado. Além disso, temos que provar que o movimento desse corpo acontece num único plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momento angular e como ele se comporta em campos de força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. Para um corpo com massa m, posição r e velocidade v, o momento angular é dado por:
L = r times p = r times mv
Aqui, times representa o produto vetorial. O momento angular nos diz como o movimento do corpo está girando em torno de um ponto.

Passo 3

Agora, para saber se o momento angular é conservado, precisamos calcular sua derivada em relação ao tempo:
dLdt = ddt (r times mv)
Usando a regra do produto para derivadas vetoriais, temos:
dLdt = v times mv + r times ma
Sabemos que v times v = 0 (porque o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero), então sobra:
dLdt = r times ma
Mas a é a aceleração, que está relacionada à força através da segunda lei de Newton:
ma = F()
Então:
dLdt = r times F(r)

Passo 4

Sabemos que a força é central, ou seja, F = F(r) r. Isso significa que a força está sempre na direção do vetor posição r. O produto vetorial de dois vetores paralelos é zero, então:
r times F(r) = 0
Portanto:
dLdt = 0
Isso indica que o momento angular L não muda com o tempo, ou seja, é conservado.

Passo 5

Como o momento angular é conservado e L é perpendicular ao plano do movimento (porque L = r times p), isso significa que a direção de L não muda. Logo, o movimento do corpo fica restrito a um plano perpendicular a L. Em outras palavras, o corpo se move sempre dentro de um único plano.

Resposta

Mostramos que o momento angular L é conservado num campo de força central e, consequentemente, o movimento do corpo ocorre sempre num único plano.

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