Considere um corpo submetido a um campo de força central, isto é, onde
.
Mostre que neste campo o momento angular
é conservado. Deste resultado mostre que o movimento deste corpo ocorre num plano
Mostre que neste campo o momento angular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, num campo de força central onde a força depende só da distância e aponta radialmente (
), o momento angular (
) do corpo é conservado. Além disso, temos que provar que o movimento desse corpo acontece num único plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momento angular e como ele se comporta em campos de força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. Para um corpo com massa
, posição
e velocidade
, o momento angular é dado por:
Aqui,
representa o produto vetorial. O momento angular nos diz como o movimento do corpo está girando em torno de um ponto.
Passo 3
Agora, para saber se o momento angular é conservado, precisamos calcular sua derivada em relação ao tempo:
Usando a regra do produto para derivadas vetoriais, temos:
Sabemos que
(porque o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero), então sobra:
Mas
é a aceleração, que está relacionada à força através da segunda lei de Newton:
Então:
Passo 4
Sabemos que a força é central, ou seja,
. Isso significa que a força está sempre na direção do vetor posição
. O produto vetorial de dois vetores paralelos é zero, então:
Portanto:
Isso indica que o momento angular
não muda com o tempo, ou seja, é conservado.
Passo 5
Como o momento angular é conservado e
é perpendicular ao plano do movimento (porque
), isso significa que a direção de
não muda. Logo, o movimento do corpo fica restrito a um plano perpendicular a
. Em outras palavras, o corpo se move sempre dentro de um único plano.
Resposta
Mostramos que o momento angular
é conservado num campo de força central e, consequentemente, o movimento do corpo ocorre sempre num único plano.