Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem \sigma 1=23 \mathrm{MPa} e \sigma 3=-13 \mathrm{MPa}. Se a direção principal 1 faz um ângulo \theta \mathrm{p} 1=-16,8^{\circ}, determine os valores de \sigma \mathrm{x}, \sigma y e \tau \mathrm{xy}.

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais e a direção da principal 1, e pede as tensões no sistema de coordenadas x,y. Dados fornecidos:
\sigma_1 = 23\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_3 = -13\\ \mathrm{MPa}, \qquad \theta_{p1} = -16,8^\circ.
Pergunta: determinar \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} (valores no eixo x dado o ângulo da direção principal 1).

Passo 2

Breve aula-conceito (passo a passo, sem pular): Mohr e transformação de tensões.
  • Para tensões planas, a média dos normais (centro do círculo de Mohr) é
\sigma_\text{m}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
  • O raio do círculo de Mohr é
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  • As tensões principais são \sigma_\text{m}\pm R. Invertendo (ou vendo geometricamente no círculo de Mohr): se sabemos as tensões principais \sigma_1 (maior) e \sigma_3 (menor) e o ângulo \theta_{p1} (ângulo entre o eixo x e a direção de \sigma_1), então as tensões no eixo x são dadas por
\sigma_x=\sigma_\text{m}+R\cos(2\theta_{p1}),
\sigma_y=\sigma_\text{m}-R\cos(2\theta_{p1}),
\tau_{xy}=-\,R\sin(2\theta_{p1}).
Explicação das fórmulas (de forma intuitiva): no círculo de Mohr os pontos das tensões principais ficam em (\sigma_1,0) e (\sigma_3,0); o ponto que representa o estado de tensões no plano x está obtido rotacionando do ponto \sigma_1 por um ângulo 2\theta_{p1} no círculo — daí aparecerem \cos(2\theta_{p1}) e \sin(2\theta_{p1}). O sinal em \tau_{xy} decorre da convenção usada no círculo de Mohr (vemos que se \theta_{p1}=0 então \tau_{xy}=0 e \sigma_x=\sigma_1, coerente).

Passo 3

Calcular \sigma_\text{m} e R a partir de \sigma_1 e \sigma_3:
\sigma_\text{m}=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}=\frac{23+(-13)}{2}=\frac{10}{2}=5\\ \mathrm{MPa}.
R=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\frac{23-(-13)}{2}=\frac{36}{2}=18\\ \mathrm{MPa}.
(Observação: aqui usei a forma direta porque, para tensões principais, o raio é simplesmente metade da diferença entre as principais.)

Passo 4

Calcular 2\theta_{p1} e suas funções trigonométricas.
2\theta_{p1}=2\cdot(-16,8^\circ)=-33,6^\circ.
Agora precisamos de \cos(2\theta_{p1}) e \sin(2\theta_{p1}).
Converter para radianos para ajudar no cálculo (apenas para justificar aproximação):
-33,6^\circ = -0,58643\\ \text{rad}\\ (\text{aprox.}).
Usando aproximações numéricas (ou uma tabela/calculadora de seno e cosseno):
\cos(-33,6^\circ)=\cos(33,6^\circ)\approx 0,8330,
\sin(-33,6^\circ)=-\sin(33,6^\circ)\approx -0,5534.
Expliquei a mudança de sinal no seno porque \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha). Essas aproximações são obtidas por desenvolvimento em série ou tabela trigonométrica; eu usei a expansão para justificar a precisão.

Passo 5

Calcular \sigma_x aplicando a fórmula:
\sigma_x=\sigma_\text{m}+R\cos(2\theta_{p1}) =5 + 18\cdot 0,8330.
Fazendo a multiplicação:
18\cdot 0,8330 = 14,994.
Logo
\sigma_x \approx 5 + 14,994 = 19,994\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando com duas casas decimais:
\sigma_x \approx 19,99\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Calcular \sigma_y:
\sigma_y=\sigma_\text{m}-R\cos(2\theta_{p1}) =5 - 18\cdot 0,8330.
Já sabemos 18\cdot 0,8330=14,994, então
\sigma_y \approx 5 - 14,994 = -9,994\\ \mathrm{MPa},
portanto
\sigma_y \approx -9,99\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Calcular \tau_{xy} usando a fórmula com o sinal apropriado:
\tau_{xy}=-\,R\sin(2\theta_{p1}) = -\,18\cdot(-0,5534).
Como \sin(2\theta_{p1}) é negativo, o produto dá positivo:
\tau_{xy} \approx -18\cdot(-0,5534)=+9,9612\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando:
\tau_{xy}\approx 9,96\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Checagem rápida (sanity check): recompondo \sigma_\text{m} e R a partir dos resultados:
\sigma_\text{m}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\approx\frac{19,994+(-9,994)}{2}=\frac{10}{2}=5\\ \mathrm{MPa},
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} =\sqrt{\left(\frac{29,988}{2}\right)^2+(9,9612)^2} =\sqrt{(14,994)^2+(9,9612)^2}.
Calculando (aprox.): (14,994)^2\approx224,82 e (9,9612)^2\approx99,23; soma \approx324,05; raiz \approx18,0\\ \mathrm{MPa}, que é o R esperado. Além disso \sigma_\text{m}\pm R = 5\pm18 retorna 23 e -13, ou seja, as principais originais — portanto os resultados estão consistentes.

Resposta

\sigma_x = 19,99\\ \mathrm{MPa}
\sigma_y = -9,99\\ \mathrm{MPa}
\tau_{xy} = 9,96\\ \mathrm{MPa}

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