Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem
e
. Se a direção principal 1 faz um ângulo
, determine os valores de
,
y e
.
Passo 1
O enunciado dá as tensões principais e a direção da principal 1, e pede as tensões no sistema de coordenadas
. Dados fornecidos:
Pergunta: determinar
,
e
(valores no eixo
dado o ângulo da direção principal 1).
Passo 2
Breve aula-conceito (passo a passo, sem pular): Mohr e transformação de tensões.
- Para tensões planas, a média dos normais (centro do círculo de Mohr) é
- O raio do círculo de Mohr é
- As tensões principais são
. Invertendo (ou vendo geometricamente no círculo de Mohr): se sabemos as tensões principais (maior) e (menor) e o ângulo (ângulo entre o eixo e a direção de ), então as tensões no eixo são dadas por
Explicação das fórmulas (de forma intuitiva): no círculo de Mohr os pontos das tensões principais ficam em
e
; o ponto que representa o estado de tensões no plano
está obtido rotacionando do ponto
por um ângulo
no círculo — daí aparecerem
e
. O sinal em
decorre da convenção usada no círculo de Mohr (vemos que se
então
e
, coerente).
Passo 3
Calcular
e
a partir de
e
:
(Observação: aqui usei a forma direta porque, para tensões principais, o raio é simplesmente metade da diferença entre as principais.)
Passo 4
Calcular
e suas funções trigonométricas.
Agora precisamos de
e
.
Converter para radianos para ajudar no cálculo (apenas para justificar aproximação):
Converter para radianos para ajudar no cálculo (apenas para justificar aproximação):
Usando aproximações numéricas (ou uma tabela/calculadora de seno e cosseno):
Expliquei a mudança de sinal no seno porque
. Essas aproximações são obtidas por desenvolvimento em série ou tabela trigonométrica; eu usei a expansão para justificar a precisão.
Passo 5
Calcular
aplicando a fórmula:
Fazendo a multiplicação:
Logo
Arredondando com duas casas decimais:
Passo 6
Calcular
:
Já sabemos
, então
portanto
Passo 7
Calcular
usando a fórmula com o sinal apropriado:
Como
é negativo, o produto dá positivo:
Arredondando:
Passo 8
Checagem rápida (sanity check): recompondo
e
a partir dos resultados:
Calculando (aprox.):
e
; soma
; raiz
, que é o
esperado. Além disso
retorna
e
, ou seja, as principais originais — portanto os resultados estão consistentes.