Um círculo móvel está em um plano perpendicular ao plano
de modo que as extremidades de um diâmetro estão sobre as parábolas
. Calcule o volume do sólido tal círculo gera se esse diâmetro é paralelo ao eixo
e se move na região limitada pelas parábolas dadas.
Passo 1
O problema trata do volume de um sólido gerado pela varredura de um círculo vertical (seu plano é perpendicular ao plano
) cujo diâmetro é paralelo ao eixo
e cujas extremidades deslizam sobre as parábolas
O método será usar cortes perpendiculares ao eixo
: em cada
fixo obtém-se um círculo de raio
, e o volume vale
Passo 2
Para um valor fixo de
as coordenadas
das extremidades do diâmetro vêm de cada parábola. Chamando
temos
Essas são, respectivamente, as funções
na primeira e na segunda parábola.
Passo 3
O comprimento do diâmetro é
Como o raio é metade do diâmetro,
As parábolas se intersectam quando
, ou seja
.
Passo 4
Pelo Princípio de Cavalieri, o volume do sólido vale
Para simplificar, trocamos de variável
, então
,
, e
Passo 5
Expandindo o quadrado e usando a simetria de
:
Calculamos separadamente:
Logo