Um círculo móvel está em um plano perpendicular ao plano x y de modo que as extremidades de um diâmetro estão sobre as parábolas (x-2)^2=2(y+1), 3(x-2)^2= 8(y-1). Calcule o volume do sólido tal círculo gera se esse diâmetro é paralelo ao eixo y e se move na região limitada pelas parábolas dadas.

Passo 1

O problema trata do volume de um sólido gerado pela varredura de um círculo vertical (seu plano é perpendicular ao plano xy) cujo diâmetro é paralelo ao eixo y e cujas extremidades deslizam sobre as parábolas
(x-2)^2 = 2(y+1) e 3(x-2)^2 = 8(y-1)
O método será usar cortes perpendiculares ao eixo x: em cada x fixo obtém-se um círculo de raio r(x), e o volume vale
V = integralxmin^xmax pi [r(x)]^2,dx

Passo 2

Para um valor fixo de x as coordenadas y das extremidades do diâmetro vêm de cada parábola. Chamando
t = x - 2,
temos
y1(x) = t^22 - 1 e y2(x) = 3,t^28 + 1
Essas são, respectivamente, as funções y na primeira e na segunda parábola.

Passo 3

O comprimento do diâmetro é
L(x) = y2(x) - y1(x) = l(3t^28+1r) - l(t^22-1r) = 2 - t^28
Como o raio é metade do diâmetro,
r(x) = L(x)2 = 1 - t^216
As parábolas se intersectam quando (x-2)^2=16, ou seja xin[-2,6].

Passo 4

Pelo Princípio de Cavalieri, o volume do sólido vale
V = integral-2^6 pi l[r(x)r]^2,dx = pi integral-2^6l(1 - (x-2)^216r)^2dx
Para simplificar, trocamos de variável t = x-2, então x=-2mapsto t=-4, x=6mapsto t=4, e
V = pi integral-4^4l(1 - t^216r)^2dt

Passo 5

Expandindo o quadrado e usando a simetria de tmapsto -t:
l(1 - t^216r)^2 = 1 - t^28 + t^4256,
V = pi integral-4^4l(1 - tfract^28 + tfract^4256r)dt = 2pi integral0^4l(1 - tfract^28 + tfract^4256r)dt
Calculamos separadamente:
integral0^41,dt = 4, integral0^4t^2dt = 4^33 = 643, integral0^4t^4dt = 4^55 = 10245
Logo
integral0^4l(1 - tfract^28 + tfract^4256r)dt = 4 - 18cdot643 + 1256cdot10245 = 3215,
V = 2pi cdot 3215 = 64pi15

Resposta

64pi15

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