(VALE 10,0 pontos) Dado |g(x)-2| <= 3 (x-1)^2 para todo x, use o Teorema do Confronto para determinar o lim x 1 g(x).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função g tal que
|g(x)-2|<=3(x-1)^2
para todo x, e pede limxto1g(x). O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche): se uma função está “entre” duas que convergem ao mesmo valor, então ela também converge a esse valor.

Passo 2

Da desigualdade
|g(x)-2|<=3(x-1)^2
segue
-3(x-1)^2 <= g(x)-2 <= 3(x-1)^2
Somando 2 a cada termo, obtemos
2 - 3(x-1)^2 ;<=; g(x);<=; 2 + 3(x-1)^2

Passo 3

Como
limxto1(x-1)^2 = 0,
temos
limxto1l(2 - 3(x-1)^2r) = 2 e limxto1l(2 + 3(x-1)^2r) = 2

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, já que g(x) está preso entre duas funções que tendem a 2, concluímos
limxto1g(x) = 2

Resposta

2

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