(Valor 30.0 pts) A lei de resfriamento de Newton postula que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional, em cada instante t, à diferença entre a temperatura do corpo T e a temperatura do meio circundante Tm, ou seja,
d Td t=k(T-Tm),
onde k é uma constante negativa e T>Tm.
(a) Determinar a temperatura em um instante t qualquer, sabendo que a temperatura no instante t=0 é T0.
(b) Use a função obtida no item (a) para resolver o seguinte problema: Um termômetro registrando uma temperatura de 40^circ C é retirado de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 10^circ C. Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de 15^circ. Quanto levará para o termômetro registrar 12^circ C ?

Passo 1

O enunciado dá a lei de resfriamento de Newton, que diz que a temperatura T(t) de um corpo satisfaz a equação diferencial
dTdt = kl(T - Tmr),
onde k é constante (negativa) e Tm é a temperatura do meio. No item (a) vamos resolver essa EDO geral por separação de variáveis; no item (b) aplicamos condições iniciais para achar k e depois determinamos o tempo para T=12^circC.

Passo 2

Separe variáveis:
dTT - Tm = k,dt
Integrando ambos os lados:
integral dTT - Tm = integral k,dt Longrightarrow lnl|T - Tmr| = kt + C
Exponenciando, obtemos
T - Tm = Ae^kt,
onde A = e^C é constante arbitrária.

Passo 3

Use a condição inicial T(0)=T0. Isso dá
T0 - Tm = A e^kcdot0 = A,
logo a solução geral é
T(t) = Tm + l(T0 - Tmr)e^kt

Passo 4

Agora, no termômetro temos Tm=10^circC, T0=40^circC e T(1)=15^circC. Substituindo em
T(1) = 10 + (40-10)e^kcdot1 = 10 + 30e^k = 15
vem
30e^k = 5 Longrightarrow e^k = 16 Longrightarrow k = ln!l(tfrac16r) = -ln6

Passo 5

Para achar o tempo t em que T(t)=12^circC, use
12 = 10 + 30e^k,t Longrightarrow 30e^k,t = 2 Longrightarrow e^k,t = 115
Tomando logaritmo,
k,t = ln!l(tfrac115r) Longrightarrow t = ln(1/15)k = -ln15-ln6 = ln15ln6 approx 1,51

Resposta

(a) T(t) = Tm + (T0 - Tm)e^kt
(b) t = dfracln15ln6 approx 1,51 minutos.

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