(Valor 30.0 pts) A lei de resfriamento de Newton postula que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional, em cada instante , à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio circundante , ou seja,
onde é uma constante negativa e .
(a) Determinar a temperatura em um instante qualquer, sabendo que a temperatura no instante é .
(b) Use a função obtida no item (a) para resolver o seguinte problema: Um termômetro registrando uma temperatura de é retirado de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de . Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de . Quanto levará para o termômetro registrar ?
Passo 1
O enunciado dá a lei de resfriamento de Newton, que diz que a temperatura de um corpo satisfaz a equação diferencial
onde é constante (negativa) e é a temperatura do meio. No item (a) vamos resolver essa EDO geral por separação de variáveis; no item (b) aplicamos condições iniciais para achar e depois determinamos o tempo para .
Passo 2
Separe variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando, obtemos
T - Tm = Ae^kt,
onde A = e^C é constante arbitrária.
Passo 3
Use a condição inicial T(0)=T0. Isso dá
T0 - Tm = A e^kcdot0 = A,
logo a solução geral é
T(t) = Tm + l(T0 - Tmr)e^kt
Passo 4
Agora, no termômetro temos Tm=10^circC, T0=40^circC e T(1)=15^circC. Substituindo em