Um círculo deformável se move de modo que um dos pontos das suas circunferências está sobre o eixo x, o centro descreve a elipse x^2a^2+y^2b^2=1, e o plano do círculo é perpendicular ao eixo x. Calcule o volume do sólido gerado.

Passo 1

O enunciado trata de um círculo deformável cujo centro percorre a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 no plano xOy. O plano do círculo é perpendicular ao eixo x e um ponto da sua circunferência está sempre em (x,0,0). O objetivo é calcular o volume do sólido gerado pelo movimento do círculo usando o método das seções transversais (fatias perpendiculares ao eixo x).

Passo 2

Em cada posição x o centro do círculo tem coordenadas (x,y,0) com
y = braiz1 - x^2a^2
Como um ponto da circunferência está em (x,0,0), o raio do círculo é a distância entre (x,y,0) e (x,0,0), ou seja,
r(x) = y = braiz1 - x^2a^2

Passo 3

Pelo método das seções transversais, a área de cada fatia no plano x = const é
A(x) = pi,[r(x)]^2 = pi,b^2l(1 - x^2a^2r)
Logo, o volume V do sólido vem de
V = integral-a^a A(x),dx = pi,b^2 integral-a^al(1 - x^2a^2r),dx

Passo 4

Calculando as integrais conhecidas,
integral-a^a1,dx = 2a,
integral-a^ax^2,dx = 2a^33
Substituindo em V:
V = pi,b^2l(2a - 1a^2cdot 2a^33r) = pi,b^2l(2a - 2a3r) = 43,pi,a,b^2

Resposta

V = 43,pi,a,b^2

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