Mostre que, se a<b entāo a<(a+b) / 2 e b>(a+b) / 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois números reais a e b com a<b, a média aritmética \tfrac{a+b}{2} fica estritamente entre eles. Para isso vamos usar duas propriedades básicas de desigualdades:
  1. Se x<y então x+z<y+z.
  2. Se x<y e c>0 então cx<cy.

Passo 2

Vamos provar que
a<\frac{a+b}{2}.
Partimos de a<b. Somando a em ambos os lados, pela propriedade 1, obtemos
a+a < a+b
ou seja,
2a < a+b.
Como 2>0, dividindo ambos os lados por 2 (propriedade 2) segue
a < \frac{a+b}{2}.

Passo 3

Agora provamos que
b>\frac{a+b}{2}.
De a<b, somamos b em ambos os lados para obter
a+b < b+b
ou seja,
a+b < 2b.
Dividindo por 2>0
\frac{a+b}{2} < b,
que é equivalente a
b>\frac{a+b}{2}.

Resposta

a<\frac{a+b}{2} \quad\text{e}\quad b>\frac{a+b}{2}.

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