No círculo x=\cos t ; y=\sin t justifique com a regra da cadeia e depois com a geometria porque d y / d x=-\cot t.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização do círculo unitário:
x=\cos t,\qquad y=\sin t,
com t variando em \mathbb{R}. Pede-se que se justifique, primeiro usando a regra da cadeia, e depois por argumento geométrico, por que
\frac{dy}{dx}=-\cot t.
Informações relevantes dadas:
  • As funções x(t)=\cos t e y(t)=\sin t são diferenciáveis para todo t.
  • A derivada pedida é a derivada da função y em relação a x ao longo da curva parametrizada por t.
  • Ao usar a fórmula paramétrica \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} é preciso ter dx/dt\neq0; quando dx/dt=0 o tangente é vertical (derivada infinita/indefinida), o que será comentado.

Passo 2

Regra da cadeia para curvas paramétricas — explicação didática:
Quando x e y são funções diferenciáveis de t, a taxa de variação de y em relação a t pode ser obtida pela regra da cadeia escrevendo y como função de x e x como função de t. Em forma simbólica:
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Essa igualdade significa: a variação de y por unidade de t é a variação de y por unidade de x multiplicada pela variação de x por unidade de t. Se dx/dt\neq0, isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}.
Aqui: \dfrac{dy}{dx} é o que queremos (inclinação da tangente no plano xy), \dfrac{dy}{dt} e \dfrac{dx}{dt} são derivadas usuais em relação a t.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso — cálculos passo a passo:
Primeiro calculemos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t. Usamos o fato conhecido (padrão) das derivadas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t.
Portanto
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t.
Agora usamos a fórmula paramétrica:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\cos t}{-\,\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}=-\cot t,
desde que \sin t\neq0 (caso contrário dx/dt=0 e a razão não é aplicável — esse é o caso da tangente vertical, que discutimos abaixo).
Comentário sobre o caso \sin t=0:
  • Se \sin t=0 então t=k\pi e o ponto é (\pm1,0). Nesse ponto dx/dt=0 e dy/dt=\pm1, logo a tangente é vertical (derivada \dfrac{dy}{dx} não finita). Isso é coerente com -\cot t também ser indefinido quando \sin t=0.

Passo 4

Primeira explicação geométrica (tangente como vetor derivada):
Considere o vetor posição da curva no plano
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(\cos t,\sin t).
O vetor derivada \mathbf{r}'(t) aponta na direção da tangente à curva e é dado por
\mathbf{r}'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big)=(-\sin t,\cos t).
A inclinação (slope) da reta tangente é a razão entre as componentes y' e x':
\text{slope}=\frac{y'}{x'}=\frac{\cos t}{-\,\sin t}=-\cot t.
Isto é exatamente \dfrac{dy}{dx}. Geometricamente, \mathbf{r}'(t) é um vetor tangente obtido girando o vetor radial (\cos t,\sin t) em 90^\circ, e essa direção produz a inclinação indicada.

Passo 5

Segunda explicação geométrica (raio ⟂ tangente e recíproco negativo):
No círculo unitário o raio que vai da origem até o ponto (\cos t,\sin t) tem inclinação (slope)
\frac{y}{x}=\frac{\sin t}{\cos t}=\tan t.
A tangente à circunferência naquele ponto é perpendicular ao raio. A inclinação de uma reta perpendicular a uma reta de inclinação m é -1/m. Assim, a inclinação da tangente é
-\frac{1}{\tan t}=-\cot t.
Esse argumento é muito direto: o raio tem ângulo t em relação ao eixo x, a reta tangente tem ângulo t+\tfrac{\pi}{2}, e usando \tan\big(t+\tfrac{\pi}{2}\big)=-\cot t chega-se à mesma expressão. Novamente, quando \sin t=0 o raio é horizontal ( \tan t=0) e a tangente é vertical (inclinação indefinida), consistente com -\cot t indefinido.

Passo 6

Resumo final e interpretação prática para a prova:
  • Pelo método da regra da cadeia/paramétrico: compute dx/dt=-\sin t e dy/dt=\cos t e use \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} para obter -\cot t, desde que \sin t\neq0.
  • Geometricamente: a tangente é perpendicular ao raio; o raio tem slope \tan t; a perpendicular tem slope -1/\tan t=-\cot t; casos em que \sin t=0 correspondem a tangente vertical (derivada não finita), conforme esperado.
  • Em provas, ao ver uma parametrização trigonométrica do círculo, lembrar destas duas vias rápidas: (i) derivadas paramétricas e divisão; (ii) propriedade geométrica raio ⟂ tangente (recíproco negativo). Ambas levam a -\cot t.

Resposta

-\cot t

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