No círculo
justifique com a regra da cadeia e depois com a geometria porque
.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização do círculo unitário:
com
variando em
. Pede-se que se justifique, primeiro usando a regra da cadeia, e depois por argumento geométrico, por que
Informações relevantes dadas:
- As funções
e são diferenciáveis para todo . - A derivada pedida é a derivada da função
em relação a ao longo da curva parametrizada por . - Ao usar a fórmula paramétrica
é preciso ter ; quando o tangente é vertical (derivada infinita/indefinida), o que será comentado.
Passo 2
Regra da cadeia para curvas paramétricas — explicação didática:
Quando e
são funções diferenciáveis de
, a taxa de variação de
em relação a
pode ser obtida pela regra da cadeia escrevendo
como função de
e
como função de
. Em forma simbólica:
Quando
Essa igualdade significa: a variação de
por unidade de
é a variação de
por unidade de
multiplicada pela variação de
por unidade de
. Se
, isolamos
:
Aqui:
é o que queremos (inclinação da tangente no plano
),
e
são derivadas usuais em relação a
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso — cálculos passo a passo:
Primeiro calculemos as derivadas de e
em relação a
. Usamos o fato conhecido (padrão) das derivadas das funções trigonométricas:
Primeiro calculemos as derivadas de
Portanto
Agora usamos a fórmula paramétrica:
desde que
(caso contrário
e a razão não é aplicável — esse é o caso da tangente vertical, que discutimos abaixo).
Comentário sobre o caso
:
- Se
então e o ponto é . Nesse ponto e , logo a tangente é vertical (derivada não finita). Isso é coerente com também ser indefinido quando .
Passo 4
Primeira explicação geométrica (tangente como vetor derivada):
Considere o vetor posição da curva no plano
Considere o vetor posição da curva no plano
O vetor derivada
aponta na direção da tangente à curva e é dado por
A inclinação (slope) da reta tangente é a razão entre as componentes
e
:
Isto é exatamente
. Geometricamente,
é um vetor tangente obtido girando o vetor radial
em
, e essa direção produz a inclinação indicada.
Passo 5
Segunda explicação geométrica (raio ⟂ tangente e recíproco negativo):
No círculo unitário o raio que vai da origem até o ponto tem inclinação (slope)
No círculo unitário o raio que vai da origem até o ponto
A tangente à circunferência naquele ponto é perpendicular ao raio. A inclinação de uma reta perpendicular a uma reta de inclinação
é
. Assim, a inclinação da tangente é
Esse argumento é muito direto: o raio tem ângulo
em relação ao eixo
, a reta tangente tem ângulo
, e usando
chega-se à mesma expressão. Novamente, quando
o raio é horizontal (
) e a tangente é vertical (inclinação indefinida), consistente com
indefinido.
Passo 6
Resumo final e interpretação prática para a prova:
- Pelo método da regra da cadeia/paramétrico: compute
e e use para obter , desde que . - Geometricamente: a tangente é perpendicular ao raio; o raio tem slope
; a perpendicular tem slope ; casos em que correspondem a tangente vertical (derivada não finita), conforme esperado. - Em provas, ao ver uma parametrização trigonométrica do círculo, lembrar destas duas vias rápidas: (i) derivadas paramétricas e divisão; (ii) propriedade geométrica raio ⟂ tangente (recíproco negativo). Ambas levam a
.