Determine a derivada da função vetorial.
tsent, tcos
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se a derivada da função vetorial
. - A função dada é
. - Então a tarefa é calcular a derivada componente a componente e apresentar
.
Passo 2
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
- Regra do produto: se
então
Isto significa: derive uma das partes (mantendo a outra), e some com a outra parte derivada (mantendo a primeira).
- Regra da cadeia (para funções compostas): se
então
- Derivadas básicas das funções trigonométricas:
Vamos aplicar essas regras aos dois componentes.
Passo 3
Derivada da primeira componente
.
- Identificamos
e . - Então
e (pela derivada da seno). - Aplicando a regra do produto:
- Resultado simplificado da primeira componente:
Passo 4
Breve explicação da etapa anterior para fixar:
- Quando se deriva
pensa-se: derive o (fica ) e multiplica por , depois some com vezes a derivada de (que é ). Por isso aparece . É exatamente a regra do produto aplicada passo a passo.
Passo 5
Derivada da segunda componente
.
- Identificamos novamente um produto:
e . - Temos
. Precisamos de : aqui entra a regra da cadeia, pois é composição de com . - Derivada de
é . A derivada de é . - Pela cadeia:
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto para
:
- Usando
e ,
- Simplificando,
Passo 7
Resumo dos resultados das componentes (mantendo a forma adequada para a resposta final):
- Primeira componente derivada:
. - Segunda componente derivada:
.