Determine a derivada da função vetorial.
\mathbf{r}(t)=\langle tsent, tcos 2 t\rangle

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se a derivada da função vetorial \mathbf{r}(t).
  • A função dada é \mathbf{r}(t)=\langle t\sin t,\; t\cos 2t\rangle.
  • Então a tarefa é calcular a derivada componente a componente e apresentar \mathbf{r}'(t).

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle então
\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),y'(t)\rangle.
  • Regra do produto: se f(t)=u(t)\,v(t) então
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Isto significa: derive uma das partes (mantendo a outra), e some com a outra parte derivada (mantendo a primeira).
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se g(t)=h(k(t)) então
g'(t)=h'(k(t))\cdot k'(t).
  • Derivadas básicas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dt}\sin t=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Vamos aplicar essas regras aos dois componentes.

Passo 3

Derivada da primeira componente x(t)=t\sin t.
  • Identificamos u(t)=t e v(t)=\sin t.
  • Então u'(t)=1 e v'(t)=\cos t (pela derivada da seno).
  • Aplicando a regra do produto:
\bigl(t\sin t\bigr)'=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=1\cdot\sin t + t\cdot\cos t.
  • Resultado simplificado da primeira componente:
\bigl(t\sin t\bigr)'=\sin t + t\cos t.

Passo 4

Breve explicação da etapa anterior para fixar:
  • Quando se deriva t\sin t pensa-se: derive o t (fica 1) e multiplica por \sin t, depois some com t vezes a derivada de \sin t (que é \cos t). Por isso aparece \sin t + t\cos t. É exatamente a regra do produto aplicada passo a passo.

Passo 5

Derivada da segunda componente y(t)=t\cos 2t.
  • Identificamos novamente um produto: u(t)=t e v(t)=\cos 2t.
  • Temos u'(t)=1. Precisamos de v'(t): aqui entra a regra da cadeia, pois v(t)=\cos(2t) é composição de h(s)=\cos s com k(t)=2t.
  • Derivada de h(s)=\cos s é h'(s)=-\sin s. A derivada de k(t)=2t é k'(t)=2.
  • Pela cadeia:
\frac{d}{dt}\cos(2t)=h'(k(t))\cdot k'(t) = -\sin(2t)\cdot 2 = -2\sin(2t).

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto para t\cos 2t:
  • Usando u'(t)=1 e v'(t)=-2\sin(2t),
\bigl(t\cos 2t\bigr)'=1\cdot\cos 2t + t\cdot(-2\sin 2t).
  • Simplificando,
\bigl(t\cos 2t\bigr)'=\cos 2t - 2t\sin 2t.

Passo 7

Resumo dos resultados das componentes (mantendo a forma adequada para a resposta final):
  • Primeira componente derivada: \sin t + t\cos t.
  • Segunda componente derivada: \cos 2t - 2t\sin 2t.

Resposta

\mathbf{r}'(t)=\langle \sin t + t\cos t,\; \cos 2t - 2t\sin 2t\rangle

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