Nos exercícios 17 e 18, calcule o limite indicado.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Dados importantes que o enunciado dá:
- A função dentro da integral é
. - O intervalo da integral vai de
até . - O ponto onde
tende é , logo o limite da integral é sobre um intervalo que encolhe para o ponto .
A pergunta é: qual é o limite quandodessa razão entre a integral (que tende a 0) e o polinômio .
Passo 2
Observação sobre a função integranda e continuidade (por que isso importa).
- A função
é contínua para todo . - A função
é contínua para todo . - Composição de contínuas é contínua, logo
é contínua em todo , em particular em torno de .
Isso garante que podemos usar o Teorema do Valor Médio para integrais (ou desenvolvimento em série) para estudar o comportamento da integral quando o intervalo encolhe.
Passo 3
Mudança de variável para ver a pequena quantidade envolvida.
Defina
Defina
então
e
equivale a
. Note que
Chame
. Assim a integral do numerador pode ser escrita como
O limite original torna-se
Passo 4
Aplicação do Teorema do Valor Médio para integrais (Enunciado e intuição).
Teorema do Valor Médio para integrais: se é contínua em
, então existe
tal que
Teorema do Valor Médio para integrais: se
Intuição: a integral sobre um pequeno intervalo
é igual ao valor da função em algum ponto do intervalo multiplicado pelo comprimento
. Como
é contínua, esse valor aproximará
quando
.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Médio ao numerador.
A função é contínua no intervalo
, logo existe
entre
e
tal que
A função
Portanto a razão fica
Substituindo
obtemos
Passo 6
Passo limite final e conclusão do crescimento.
Quando (ou seja,
), o ponto
fica entre
e
e portanto
. Como
é contínua,
Quando
Note que
(pois
radiano é aproximadamente
e
). Logo para
suficientemente pequeno a quantidade
permanece positiva e tende a
. Assim
Como
quando
(independente do sinal de
), o quociente tende a
. Portanto o limite procurado diverge para
.
Passo 7
Comentário didático alternativo (opcional, para fixar a ideia).
Outra forma: desenvolver em torno de
dá
quando
. Integrando no pequeno intervalo de comprimento
obtemos
Outra forma: desenvolver
Dividindo por
dá
, que novamente diverge para
. (Aqui apenas se apresenta a mesma conclusão por equivalência assintótica.)