Nos exercícios 17 e 18, calcule o limite indicado.
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{x}{2}} \cos (\operatorname{sen} t) d t}{(x-\pi)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\pi}\frac{\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{x}{2}}\cos(\sin t)\,dt}{(x-\pi)^{3}}.
Dados importantes que o enunciado dá:
  • A função dentro da integral é t\mapsto\cos(\sin t).
  • O intervalo da integral vai de \tfrac{\pi}{2} até \tfrac{x}{2}.
  • O ponto onde x tende é x=\pi, logo o limite da integral é sobre um intervalo que encolhe para o ponto t=\tfrac{\pi}{2}.
    A pergunta é: qual é o limite quando x\to\pi dessa razão entre a integral (que tende a 0) e o polinômio (x-\pi)^3.

Passo 2

Observação sobre a função integranda e continuidade (por que isso importa).
  • A função t\mapsto\sin t é contínua para todo t.
  • A função u\mapsto\cos u é contínua para todo u.
  • Composição de contínuas é contínua, logo f(t)=\cos(\sin t) é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em torno de t=\tfrac{\pi}{2}.
    Isso garante que podemos usar o Teorema do Valor Médio para integrais (ou desenvolvimento em série) para estudar o comportamento da integral quando o intervalo encolhe.

Passo 3

Mudança de variável para ver a pequena quantidade envolvida.
Defina
h=x-\pi,
então x=\pi+h e x\to\pi equivale a h\to 0. Note que
\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}=\frac{h}{2}.
Chame \Delta=\dfrac{h}{2}. Assim a integral do numerador pode ser escrita como
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{x}{2}}\cos(\sin t)\,dt=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+\Delta}\cos(\sin t)\,dt.
O limite original torna-se
\lim_{h\to 0}\frac{\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+\Delta}\cos(\sin t)\,dt}{h^{3}}, \qquad\text{onde }\Delta=\frac{h}{2}.

Passo 4

Aplicação do Teorema do Valor Médio para integrais (Enunciado e intuição).
Teorema do Valor Médio para integrais: se f é contínua em [a,b], então existe c\in[a,b] tal que
\int_a^b f(t)\,dt = f\text{(c)}\,(b-a).
Intuição: a integral sobre um pequeno intervalo [a,a+\Delta] é igual ao valor da função em algum ponto do intervalo multiplicado pelo comprimento \Delta. Como f é contínua, esse valor aproximará f(a) quando \Delta\to 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Médio ao numerador.
A função f(t)=\cos(\sin t) é contínua no intervalo \left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}+\Delta\right], logo existe c entre \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}+\Delta tal que
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+\Delta}\cos(\sin t)\,dt = \cos(\sin c)\cdot\Delta.
Portanto a razão fica
\frac{\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+\Delta}\cos(\sin t)\,dt}{h^{3}} = \frac{\cos(\sin c)\,\Delta}{h^{3}}.
Substituindo \Delta=\dfrac{h}{2} obtemos
\frac{\cos(\sin c)\,\dfrac{h}{2}}{h^{3}}=\frac{\cos(\sin c)}{2}\cdot\frac{1}{h^{2}}.

Passo 6

Passo limite final e conclusão do crescimento.
Quando h\to 0 (ou seja, x\to\pi), o ponto c fica entre \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}+\Delta e portanto c\to\tfrac{\pi}{2}. Como \cos(\sin t) é contínua,
\cos(\sin c)\to\cos\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=\cos(1).
Note que \cos(1)>0 (pois 1 radiano é aproximadamente 57,3^\circ e \cos(1)\approx 0{,}5403). Logo para h suficientemente pequeno a quantidade \cos(\sin c) permanece positiva e tende a \cos(1). Assim
\frac{\cos(\sin c)}{2}\cdot\frac{1}{h^{2}}\sim \frac{\cos(1)}{2}\cdot\frac{1}{h^{2}}.
Como \dfrac{1}{h^{2}}\to+\infty quando h\to 0 (independente do sinal de h), o quociente tende a +\infty. Portanto o limite procurado diverge para +\infty.

Passo 7

Comentário didático alternativo (opcional, para fixar a ideia).
Outra forma: desenvolver f(t)=\cos(\sin t) em torno de t=\tfrac{\pi}{2} f(t)=\cos(1)+o(1) quando t\to\tfrac{\pi}{2}. Integrando no pequeno intervalo de comprimento \Delta=\tfrac{h}{2} obtemos
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+\Delta} f(t)\,dt = \cos(1)\,\Delta + o(\Delta).
Dividindo por h^{3}=(2\Delta)^{3}=8\Delta^{3} \dfrac{\cos(1)\Delta+o(\Delta)}{8\Delta^{3}}=\dfrac{\cos(1)}{8}\cdot\frac{1}{\Delta^{2}}+o\!\left(\frac{1}{\Delta^{2}}\right), que novamente diverge para +\infty. (Aqui apenas se apresenta a mesma conclusão por equivalência assintótica.)

Resposta

+\infty

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