QUESTÃO 6: Um perito analisou o corpo de uma pessoa assassinada num aposento cuja temperatura constante era de 20^{\circ} \mathrm{C}. Ao meio dia, ele anotou que a temperatura registrada do corpo era de 35^{\circ} \mathrm{C} e, duas horas depois, registrou 33^{\circ} \mathrm{C} para a temperatura do corpo. No momento do crime, a vítima tinha temperatura corporal normal ( 37^{\circ} \mathrm{C} ). Justifique como o perito concluiu que o crime aconteceu por volta das 10h15min.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma clara):
  • Temperatura ambiente constante: \,T_a = 20^\circ\mathrm{C}\,.
  • Ao meio-dia (12h00) a temperatura do corpo era \,35^\circ\mathrm{C}\,.
  • Duas horas depois (14h00) a temperatura do corpo era \,33^\circ\mathrm{C}\,.
  • No momento do crime a vítima tinha temperatura corporal normal: \,37^\circ\mathrm{C}\,.
    O que se pede: determinar o instante aproximado do crime (hora), isto é, achar a que horas a temperatura do corpo ainda era \,37^\circ\mathrm{C}\,.

Passo 2

Modelo físico e equação que vamos usar (explicação didática):
  • Para resfriamento de um corpo em ambiente de temperatura constante usa-se a Lei do Resfriamento de Newton. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.
  • Em fórmula, se T(t) é a temperatura do corpo no instante t (em horas) e T_a é a temperatura ambiente, a lei escreve-se
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde k>0 é uma constante (coeficiente de resfriamento) que depende das propriedades do corpo e do ambiente.
  • Essa equação diferencial é simples e separável. A solução geral (apresento o raciocínio e o resultado) é
T(t) = T_a + \bigl(T(0)-T_a\bigr)\,e^{-k t},
onde T(0) é a temperatura do corpo no instante t=0 (aqui vamos escolher t=0 como o instante do crime). Interpretação: a diferença entre a temperatura do corpo e a ambiente decai exponencialmente com constante k.

Passo 3

Aplicando ao problema e definindo incógnitas:
  • Tomar t em horas e escolher t=0 como o momento do crime (quando T(0)=37^\circ\mathrm{C}).
  • Então, pela solução,
T(t)=20 + (37-20)\,e^{-k t}=20 + 17\,e^{-k t}.
  • Seja x o tempo (em horas) decorrido entre o crime e o instante meio-dia. Então:
    • No instante meio-dia temos t=x e T(x)=35. Assim
    35 = 20 + 17\,e^{-k x}.
    • Duas horas depois (ou seja, em t=x+2) temos T(x+2)=33. Assim
    33 = 20 + 17\,e^{-k(x+2)}.

Passo 4

Resolver o sistema para encontrar x (passo a passo, sem pular contas):
  • Da primeira equação,
35-20 = 17\,e^{-k x}\quad\Rightarrow\quad 15 = 17\,e^{-k x}\quad\Rightarrow\quad e^{-k x}=\frac{15}{17}.
  • Da segunda equação,
33-20 = 17\,e^{-k(x+2)}\quad\Rightarrow\quad 13 = 17\,e^{-k x}e^{-2k}.
  • Substituindo e^{-k x}=\dfrac{15}{17} na segunda:
13 = 17\cdot\frac{15}{17}\,e^{-2k}\quad\Rightarrow\quad 13 = 15\,e^{-2k}.
  • Portanto
e^{-2k}=\frac{13}{15}.
  • Tomando logaritmo natural:
-2k = \ln\!\left(\frac{13}{15}\right)\quad\Rightarrow\quad k = -\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{13}{15}\right)=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{15}{13}\right).
  • Calcular numericamente (mostrando os valores intermediários):
    • \displaystyle \ln\!\left(\frac{15}{13}\right)\approx 0{,}143101.
    • Logo \displaystyle k \approx \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}143101 \approx 0{,}0715505 (horas^{-1}).
    • Vou manter 5 casas decimais: \,k\approx 0{,}07155\;\mathrm{h}^{-1}.

Passo 5

Calcular x (tempo entre o crime e o meio-dia):
  • Usamos e^{-k x}=\dfrac{15}{17}. Tomando ln:
-kx = \ln\!\left(\frac{15}{17}\right)\quad\Rightarrow\quad x = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{15}{17}\right).
  • Valores numéricos:
    • \displaystyle \ln\!\left(\frac{15}{17}\right)=\ln(15)-\ln(17)\approx -0{,}125163.
    • Assim
    x \approx -\frac{-0{,}125163}{0{,}0715505} \approx \frac{0{,}125163}{0{,}0715505}\approx 1{,}75\\ \text{horas}.
  • Converter 1{,}75 horas em horas e minutos:
    • 0{,}75 horas = 0{,}75\times 60\\ \text{min} = 45\\ \text{min}.
    • Logo x=1\\ \text{h}\\\ 45\\ \text{min}.
  • Interpretação: o crime ocorreu 1\\ \text{h}\\\ 45\\ \text{min} antes do meio-dia.
    • Meio-dia é 12h00, subtraindo 1h45min obtemos aproximadamente 10h 15min.

Passo 6

Comentário final curto e motivador:
  • Portanto, seguindo passo a passo com a Lei de Newton do resfriamento e fazendo as contas com logaritmos, o perito concluiu que o crime ocorreu por volta de 10h 15min. Bom trabalho — essas contas rendem um resultado bem direto quando se organiza a equação corretamente!

Resposta

10\text{h}15\text{min}

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