QUESTÃO 6: Um perito analisou o corpo de uma pessoa assassinada num aposento cuja temperatura constante era de
. Ao meio dia, ele anotou que a temperatura registrada do corpo era de
e, duas horas depois, registrou
para a temperatura do corpo. No momento do crime, a vítima tinha temperatura corporal normal (
). Justifique como o perito concluiu que o crime aconteceu por volta das 10h15min.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma clara):
- Temperatura ambiente constante:
. - Ao meio-dia (12h00) a temperatura do corpo era
. - Duas horas depois (14h00) a temperatura do corpo era
. - No momento do crime a vítima tinha temperatura corporal normal:
.
O que se pede: determinar o instante aproximado do crime (hora), isto é, achar a que horas a temperatura do corpo ainda era.
Passo 2
Modelo físico e equação que vamos usar (explicação didática):
- Para resfriamento de um corpo em ambiente de temperatura constante usa-se a Lei do Resfriamento de Newton. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.
- Em fórmula, se
é a temperatura do corpo no instante (em horas) e é a temperatura ambiente, a lei escreve-se
onde
é uma constante (coeficiente de resfriamento) que depende das propriedades do corpo e do ambiente.
- Essa equação diferencial é simples e separável. A solução geral (apresento o raciocínio e o resultado) é
onde
é a temperatura do corpo no instante
(aqui vamos escolher
como o instante do crime). Interpretação: a diferença entre a temperatura do corpo e a ambiente decai exponencialmente com constante
.
Passo 3
Aplicando ao problema e definindo incógnitas:
- Tomar
em horas e escolher como o momento do crime (quando ). - Então, pela solução,
- Seja
o tempo (em horas) decorrido entre o crime e o instante meio-dia. Então: - No instante meio-dia temos
e . Assim
- Duas horas depois (ou seja, em
) temos . Assim
- No instante meio-dia temos
Passo 4
Resolver o sistema para encontrar
(passo a passo, sem pular contas):
- Da primeira equação,
- Da segunda equação,
- Substituindo
na segunda:
- Portanto
- Tomando logaritmo natural:
- Calcular numericamente (mostrando os valores intermediários):
-
. - Logo
(horas^{-1}). - Vou manter 5 casas decimais:
-
Passo 5
Calcular
(tempo entre o crime e o meio-dia):
- Usamos
. Tomando ln:
- Valores numéricos:
-
. - Assim
-
- Converter
horas em horas e minutos: -
horas = . - Logo
.
-
- Interpretação: o crime ocorreu
antes do meio-dia. - Meio-dia é 12h00, subtraindo
h45min obtemos aproximadamente h min.
- Meio-dia é 12h00, subtraindo
Passo 6
Comentário final curto e motivador:
- Portanto, seguindo passo a passo com a Lei de Newton do resfriamento e fazendo as contas com logaritmos, o perito concluiu que o crime ocorreu por volta de
h min. Bom trabalho — essas contas rendem um resultado bem direto quando se organiza a equação corretamente!