Dado o campo vetorial E=4 z y^2 cos 2 x ax+2 z y sen 2 x ay+y^2 sen 2 x az para a região |x|, |y|, e |z| <2, encontre (a) as superfícies em que Ey=0; (b) a região em que Ey=Ez; © a região em que E=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda estudar o campo vetorial
na região E(x,y,z) = 4,z,y^2cos(2x),ax ;+; 2,z,ysen(2x),ay ;+; y^2sen(2x),az . Precisamos achar:
a) as superfícies onde ,
b) a região onde ,
c) a região onde .
O que vamos usar: cada componente é um produto de fatores (tipo ); pra zerar, basta estudar quando cada fator é zero (propriedade de produto igual a zero).

Passo 2

(a) . Produto é zero se qualquer fator for zero:
  1. → plano .
  2. → plano .
  3. , ou seja .
    Como , só cabem , logo as superfícies , e .

Passo 3

(b) Queremos 2,z,ysen(2x) ;=; y^2sen(2x) , ou seja
Leva a
Então vale se qualquer desses três for zero:
  1. → superfícies sen(2x),y,(2z - y)=0 .
  2. → plano .
  3. → plano .

Passo 4

© Queremos 4,z,y^2cos(2x)=0, 2,z,ysen(2x)=0, y^2sen(2x)=0 , ou seja simultaneamente
Da terceira equação: x = npi/2 e z = 0 ou .
  • Se , todas as três ficam zeradas (porque qualquer coisa vezes ou é zero). Então o plano está todo em .
  • Se (isto é ), as duas últimas ficam zero, e a primeira vira . Mas quando , , então 1ª é zero só se . Logo sobra a interseção das superfícies

Resposta

a) z=0, y=0, x=0, x=tfracpi2, x=-tfracpi2 nas superfícies
sen(2x)=0l(x=npi/2r),ou y=0,ou y=2z
b) plano y=0 cup lx=npi/2;e;z=0r quando
c) na união de

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