Uma circunferência de raio R centrada na origem do plano cartesiano tem equação x^2+y^2=R^2. Mostre que a área da região delimitada pela circunferência é pi R^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região
D = (x,y)mid x^2+y^2<= R^2,
ou seja, o disco de raio R centrado na origem. Vamos usar cálculo de área por integração dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
e o elemento de área transforma-se como
dA = r,dr,dtheta
Os limites são 0<= r<= R e 0<= theta<= 2pi.

Passo 3

Montamos a integral dupla para a área:
Área(D) = integraltheta=0^2piintegralr=0^Rr,dr,dtheta Á
Primeiro integramos em r:
integral0^Rr,dr = R^22

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^2piR^22,dtheta = R^22cdot 2pi = pi R^2

Resposta

A área da região delimitada pela circunferência é pi R^2.

Exercícios relacionados