Verifique, pela definição, que f é derivável em x=1. Onde f(x)=cllx^2+3 x, & se x <= 1 5 x-1, & se x>1

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x^2+3x,& x<=1, 5x-1,& x>1
e pede para verificar, pela definição de derivada, que f é derivável em x=1.
Conteúdo: definição de derivada via limite do quociente incremental e necessidade de limites laterais iguais.

Passo 2

Antes de tudo, conferimos a continuidade em x=1, pois derivabilidade implica continuidade.
limxto1^-f(x)=1^2+3cdot1=4, limxto1^+f(x)=5cdot1-1=4,
e f(1)=1^2+3cdot1=4. Como tudo bate em 4, f é contínua em 1.

Passo 3

Pela definição,
f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h
Precisamos mostrar que os limites laterais desse quociente existem e coincidem.

Passo 4

Limite pela esquerda ( hto0^-, então 1+h<=1):
f(1+h)=(1+h)^2+3(1+h)=1+2h+h^2+3+3h=4+5h+h^2,
logo
f(1+h)-f(1)h =(4+5h+h^2)-4h =5h+h^2h =5+h
Como hto0^-, isso tende a 5.

Passo 5

Limite pela direita ( hto0^+, então 1+h>1):
f(1+h)=5(1+h)-1=5+5h-1=4+5h,
portanto
f(1+h)-f(1)h =(4+5h)-4h =5hh =5
Quando hto0^+, esse valor é exatamente 5.

Passo 6

Os dois limites laterais do quociente incremental são iguais a 5. Logo
limhto0f(1+h)-f(1)h=5
existe e é finito, o que prova que f é derivável em x=1 e
f'(1)=5

Resposta

f é derivável em x=1 e f'(1)=5.

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