Considere a função f(x)=x+1raizx^2+1 definida em R. Determine (se houver):
os intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidades;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade e a concavidade da função f(x)=x+1raizx^2+1 definida em R. Vamos precisar das derivadas primeira e segunda para determinar onde f cresce, decresce e onde ela é côncava.

Passo 2

Para achar f'(x), usamos a regra do quociente ou produto. Uma forma rápida é escrever f(x)=(x+1)(x^2+1)^-1/2 e derivar:
f'(x)=raizx^2+1 - (x+1)xraizx^2+1x^2+1 =x^2+1 - x(x+1)(x^2+1)^3/2 =1 - x(x^2+1)^3/2
Como (x^2+1)^3/2>0 sempre, o sinal de f'(x) é o sinal de 1-x.

Passo 3

Analisando 1-x:
1-x>0 x<1, logo f'(x)>0 para x<1.
1-x=0 x=1.
1-x<0 x>1, logo f'(x)<0 para x>1.
Portanto, f é crescente em (-infty,1) e decrescente em (1,infty), com máximo em x=1.

Passo 4

Agora calculamos f''(x). Derivando f'(x)=(1-x)(x^2+1)^-3/2 por produto e simplificando, obtemos:
f''(x)=2x^2 - 3x - 1(x^2+1)^5/2
O denominador é sempre positivo, então o sinal de f''(x) vem do numerador 2x^2 - 3x - 1.

Passo 5

Resolvendo 2x^2 - 3x - 1=0 obtemos
x=3 pm raiz9 + 84=3 pm raiz174
Como o coeficiente de x^2 é positivo, o numerador é positivo para x e para x>tfrac3+raiz174, e negativo entre essas raízes. Portanto, f é côncava para cima em (tfrac3-raiz174,tfrac3+raiz174) e côncava para baixo em .

Resposta

Crescente em (-infty,1) e decrescente em (1,infty). Côncava para cima em (-infty,tfrac3-raiz174)cup(tfrac3+raiz174,infty) e côncava para baixo em (tfrac3-raiz174,tfrac3+raiz174). Infleções em x=(3pmraiz17)/4.

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