Considere a função
definida em
. Determine (se houver):
os intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidades;
os intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidades;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a monotonicidade e a concavidade da função
definida em
. Vamos precisar das derivadas primeira e segunda para determinar onde
cresce, decresce e onde ela é côncava.
Passo 2
Para achar
, usamos a regra do quociente ou produto. Uma forma rápida é escrever
e derivar:
Como
sempre, o sinal de
é o sinal de
.
Passo 3
Analisando
:
– ⇔
, logo
para
.
– ⇔
.
– ⇔
, logo
para
.
Portanto, é crescente em
e decrescente em
, com máximo em
.
–
–
–
Portanto,
Passo 4
Agora calculamos
. Derivando
por produto e simplificando, obtemos:
O denominador é sempre positivo, então o sinal de
vem do numerador
.
Passo 5
Resolvendo
obtemos
Como o coeficiente de
é positivo, o numerador é positivo para
e para
, e negativo entre essas raízes. Portanto,
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Resposta
Crescente em
e decrescente em
. Côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Infleções em
.