Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:
\left\{\begin{array}{l}x+1 \\\ y=1 \\\ z=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: “Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas” e fornece a representação
\left\{\begin{array}{l} x+1\\[4pt] y=1\\[4pt] z=-1 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • A segunda equação é \;y=1\;.
  • A terceira equação é \;z=-1\;.
  • A primeira linha está escrita como \;x+1\; sem o sinal de igualdade explícito. Vou interpretar que isso indica a dependência de x de um parâmetro (forma paramétrica incompleta), ou seja que se trata da expressão \;x+1=t\; para um parâmetro livre t (equivalente a \;x=-1+t,). Esta interpretação decorre da forma usual de escrever retas em paramétrico onde se omite o “=;t”.]

Passo 2

Conceito e método (aula curta e prática): como extrair um ponto e um vetor diretor de uma reta em \mathbb{R}^3\). - Uma reta em \(\mathbb{R}^3\) na forma paramétrica padrão é \[\begin{cases} x = x_0 + a\,t,\\[4pt] y = y_0 + b\,t,\\[4pt] z = z_0 + c\,t, \end{cases}
onde t\] é o parâmetro real. - Neste formato: - O ponto \(P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer da reta (chamado ponto de passagem).
- O vetor \vec{v}=(a,b,c) é o vetor diretor da reta (indica a direção e sentido da reta).
- Por exemplo, se tivéssemos
x=2+3t,\quad y=1-2t,\quad z=5+t,
então o ponto é P=(2,1,5) e o vetor diretor é \vec{v}=(3,-2,1).
  • Observação: quando uma coordenada aparece sem t (por exemplo y=1), isso significa y=1+0\cdot t e contribui com 0 na componente do vetor diretor.]

Passo 3

Aplicando o método ao sistema dado (usando a interpretação \;x+1=t\;\) que equivale a \(\;x=-1+t\)\,): - Escrever as três coordenadas no formato padrão com o parâmetro \(t\): \[\begin{cases} x = -1 + t,\\[4pt] y = 1 + 0\cdot t,\\[4pt] z = -1 + 0\cdot t. \end{cases}
  • Identificar x_0,y_0,z_0\] e \(a,b,c:
    • x_0 = -1, y_0 = 1, z_0 = -1.
    • a = 1, b = 0, c = 0.]

Passo 4

Interpretando os resultados:
  • O ponto de passagem (um ponto que está na reta) é P = (-1,\,1,\,-1).
  • O vetor diretor, que dá a direção da reta, é \vec{v} = (1,\,0,\,0).
  • Intuição geométrica: \vec{v}=(1,0,0) indica que a reta varia apenas na direção do eixo x; como y e z são constantes ( 1 e -1), a reta é paralela ao eixo x e passa pelo ponto (-1,1,-1).

Resposta

Ponto: (-1,\,1,\,-1)
Vetor diretor: (1,\,0,\,0)

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