A primeira linha está escrita como \;x+1\; sem o sinal de igualdade explícito. Vou interpretar que isso indica a dependência de x de um parâmetro (forma paramétrica incompleta), ou seja que se trata da expressão \;x+1=t\; para um parâmetro livre t (equivalente a \;x=-1+t,). Esta interpretação decorre da forma usual de escrever retas em paramétrico onde se omite o “=;t”.]
Passo 2
Conceito e método (aula curta e prática): como extrair um ponto e um vetor diretor de uma reta em \mathbb{R}^3\).
- Uma reta em \(\mathbb{R}^3\) na forma paramétrica padrão é
\[\begin{cases} x = x_0 + a\,t,\\[4pt] y = y_0 + b\,t,\\[4pt] z = z_0 + c\,t, \end{cases}
onde t\] é o parâmetro real.
- Neste formato:
- O ponto \(P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer da reta (chamado ponto de passagem).
- O vetor \vec{v}=(a,b,c) é o vetor diretor da reta (indica a direção e sentido da reta).
- Por exemplo, se tivéssemos
x=2+3t,\quad y=1-2t,\quad z=5+t,
então o ponto é P=(2,1,5) e o vetor diretor é \vec{v}=(3,-2,1).
Observação: quando uma coordenada aparece sem t (por exemplo y=1), isso significa y=1+0\cdot t e contribui com 0 na componente do vetor diretor.]
Passo 3
Aplicando o método ao sistema dado (usando a interpretação \;x+1=t\;\) que equivale a \(\;x=-1+t\)\,):
- Escrever as três coordenadas no formato padrão com o parâmetro \(t\):
\[\begin{cases} x = -1 + t,\\[4pt] y = 1 + 0\cdot t,\\[4pt] z = -1 + 0\cdot t. \end{cases}
Identificar x_0,y_0,z_0\] e \(a,b,c:
x_0 = -1, y_0 = 1, z_0 = -1.
a = 1, b = 0, c = 0.]
Passo 4
Interpretando os resultados:
O ponto de passagem (um ponto que está na reta) é P = (-1,\,1,\,-1).
O vetor diretor, que dá a direção da reta, é \vec{v} = (1,\,0,\,0).
Intuição geométrica: \vec{v}=(1,0,0) indica que a reta varia apenas na direção do eixo x; como y e z são constantes (1 e -1), a reta é paralela ao eixo x e passa pelo ponto (-1,1,-1).