Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre as coordenadas
e pede: citar um ponto e um vetor diretor da(s) reta(s) descrita(s) por essa condição.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A condição
relaciona as três coordenadas . - Precisamos extrair uma representação da reta para identificar um ponto nela e um vetor diretor.
Passo 2
Transformar a igualdade em forma paramétrica. Quando se tem
isso significa que existe um número (o mesmo para as três expressões) que chamamos de parâmetro. Vamos definir esse parâmetro como
e escrever
Da última igualdade isolamos
:
Portanto cada ponto da reta pode ser escrito em função de
como
Passo 3
Escrever a forma vetorial (paramétrica) da reta. Agrupando os componentes:
Esta igualdade mostra duas coisas importantes:
- A reta passa pela origem, porque tomando
obtemos o ponto . - Um vetor diretor é dado pelos coeficientes de
, isto é .
Passo 4
Escolher um ponto e um vetor diretor com versões convenientes para a prova. Observações úteis e usadas frequentemente em provas:
- Qualquer ponto obtido para algum valor de
é ponto da reta. Por exemplo, para obtemos o ponto , que tem coordenadas inteiras (às vezes isso facilita cálculos). - Um vetor diretor pode ser escalado por qualquer número não nulo e continua sendo direção da mesma reta. Multiplicando
por obtemos o vetor inteiro , equivalente como vetor diretor.
Portanto escolhas práticas e comuns são:
- ponto:
ou ; - vetor diretor:
ou, mais conveniente em inteiros, .
Passo 5
Conclusão final pronta para a prova: dar um ponto da reta e um vetor diretor (usarei a escolha com coordenadas inteiras, que é mais prática).
Resposta
Ponto:
; vetor diretor: