Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:
x=y=2 z

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre as coordenadas x=y=2z e pede: citar um ponto e um vetor diretor da(s) reta(s) descrita(s) por essa condição.
Informações relevantes fornecidas:
  • A condição x=y=2z relaciona as três coordenadas x,y,z.
  • Precisamos extrair uma representação da reta para identificar um ponto nela e um vetor diretor.

Passo 2

Transformar a igualdade em forma paramétrica. Quando se tem x=y=2z isso significa que existe um número (o mesmo para as três expressões) que chamamos de parâmetro. Vamos definir esse parâmetro como t e escrever
x=t,\qquad y=t,\qquad 2z=t.
Da última igualdade isolamos z:
z=\frac{t}{2}.
Portanto cada ponto da reta pode ser escrito em função de t como
(x,y,z)=(t,\;t,\;\tfrac{t}{2}).

Passo 3

Escrever a forma vetorial (paramétrica) da reta. Agrupando os componentes:
\mathbf{r}(t)=(t,\;t,\;\tfrac{t}{2})=t\,(1,\;1,\;\tfrac{1}{2}).
Esta igualdade mostra duas coisas importantes:
  • A reta passa pela origem, porque tomando t=0 obtemos o ponto (0,0,0).
  • Um vetor diretor é dado pelos coeficientes de t, isto é (1,1,\tfrac{1}{2}).

Passo 4

Escolher um ponto e um vetor diretor com versões convenientes para a prova. Observações úteis e usadas frequentemente em provas:
  • Qualquer ponto obtido para algum valor de t é ponto da reta. Por exemplo, para t=2 obtemos o ponto (2,2,1), que tem coordenadas inteiras (às vezes isso facilita cálculos).
  • Um vetor diretor pode ser escalado por qualquer número não nulo e continua sendo direção da mesma reta. Multiplicando (1,1,\tfrac{1}{2}) por 2 obtemos o vetor inteiro (2,2,1), equivalente como vetor diretor.
Portanto escolhas práticas e comuns são:
  • ponto: (0,0,0) ou (2,2,1);
  • vetor diretor: (1,1,\tfrac{1}{2}) ou, mais conveniente em inteiros, (2,2,1).

Passo 5

Conclusão final pronta para a prova: dar um ponto da reta e um vetor diretor (usarei a escolha com coordenadas inteiras, que é mais prática).

Resposta

Ponto: (0,0,0); vetor diretor: (2,2,1)

Exercícios relacionados