Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
r:\left\{\begin{array}{l}x=-2-2 t \\\ y=2 t \\\ z=3-4 t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta uma reta r com as equações paramétricas
x=-2-2t,\qquad y=2t,\qquad z=3-4t,
e pede para “determinar o ângulo entre as seguintes retas”. Informação relevante que está no enunciado:
  • A reta r tem parâmetro t e as componentes dependem linearmente de t como mostrado acima.
  • Não foi fornecida nenhuma outra reta com a qual calcular o ângulo (ou seja, falta a segunda reta).
O que o problema efetivamente pede: encontrar o ângulo entre duas retas. Para isso é imprescindível conhecer ambas as retas (ou pelo menos os vetores diretores de ambas). Como aqui só foi dada a reta r, falta informação essencial para obter um valor numérico do ângulo entre duas retas.

Passo 2

Explicação didática do método que se usa na prova (para quando houver duas retas):
  1. Extração do vetor diretor: de equações paramétricas do tipo
x=x_0 + a t,\qquad y=y_0 + b t,\qquad z=z_0 + c t
o vetor diretor é \vec d=(a,b,c). Esse vetor indica a direção da reta (multiplicadores constantes de t).
  1. Fórmula do ângulo entre duas retas: se duas retas têm vetores diretores \vec a e \vec b, o cosseno do ângulo \theta entre elas é dado por
\cos\theta=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{\|\vec a\|\;\|\vec b\|},
onde \vec a\cdot\vec b é o produto escalar e \|\vec a\| denota a norma (módulo) do vetor \vec a. O valor absoluto no numerador garante que se obtenha o ângulo agudo entre as retas (isto é, 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}).
  1. Produto escalar e norma em coordenadas: para \vec a=(a_x,a_y,a_z) e \vec b=(b_x,b_y,b_z),
\vec a\cdot\vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z, \qquad \|\vec a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.

Passo 3

Apliquei o passo de extração do vetor diretor à reta r dada: os coeficientes de t são -2, 2 e -4. Logo um vetor diretor de r é
\vec v_r = (-2,\,2,\,-4).
Observação útil para a prova: vetores diretores são determinados à multiplicação por escalar; podemos simplificar \vec v_r dividindo por -2 (ou apenas escolher outro vetor paralelo). Por exemplo, um vetor paralelo mais simples é
\vec d = (1,\,-1,\,2),
porque \vec v_r = -2\vec d. Ambos representam a mesma direção de reta.
Calcule também a norma de \vec v_r (pode ser necessária):
\|\vec v_r\|=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.

Passo 4

Como proceder na prova quando vier a segunda reta: suponha que a segunda reta s tenha vetor diretor \vec w=(w_x,w_y,w_z). Então o cálculo do cosseno do ângulo entre r e s fica
\cos\theta=\frac{|\vec v_r\cdot\vec w|}{\|\vec v_r\|\;\|\vec w\|} =\frac{\big|-2w_x+2w_y-4w_z\big|}{2\sqrt{6}\,\sqrt{w_x^2+w_y^2+w_z^2}}.
Depois obtém-se \theta=\operatorname{arccos}(\text{valor acima}). Esse é o procedimento direto e rápido que você deve aplicar na prova — extraia os vetores diretores, compute produto escalar e normas, forme a razão e calcule o arco-cosseno.

Passo 5

Dois exemplos rápidos para fixar a ideia:
Exemplo A — ângulo entre r e o eixo x (vetor diretor do eixo x é (1,0,0)):
\cos\theta=\frac{|\vec v_r\cdot(1,0,0)|}{\|\vec v_r\|\,\|(1,0,0)\|} =\frac{|-2|}{2\sqrt{6}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\approx 65{,}905^\circ\\ (\approx 1{,}1503\\ \text{rad}).
Isso mostra passo a passo como aplicar a fórmula com um vetor simples.
Exemplo B — ângulo entre r e uma reta paralela a \vec d=(1,-1,2): como \vec v_r é paralelo a \vec d, o produto escalar em módulo é igual ao produto das normas e assim
\cos\theta=1\quad\Rightarrow\quad \theta=0,
ou seja, retas paralelas têm ângulo zero — outra checagem útil na prova.

Passo 6

Conclusão prática para o enunciado que você enviou: não há como calcular um ângulo entre retas se só foi dada uma reta. Para obter um valor numérico é necessário ter a segunda reta (ou pelo menos o vetor diretor da segunda reta). Use o procedimento descrito acima assim que tiver a segunda reta.

Resposta

Não é possível determinar o ângulo: o enunciado fornece apenas a reta r e falta a segunda reta (ou o seu vetor diretor) necessária para calcular o ângulo.

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