Cite um exemplo de escoamento não permanente/transiente e uniforme.

Passo 1

O enunciado pede que eu cite um exemplo de escoamento que seja simultaneamente não permanente (transiente) e uniforme. Não há outros dados numéricos no enunciado; a única exigência é que o escoamento satisfaça essas duas propriedades ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro vou explicar com calma o que cada termo significa, porque na prova costuma cair exatamente pedir para justificar por que o exemplo atende às propriedades.
  • Não permanente (ou transiente): significa que a velocidade do fluido muda com o tempo. Em linguagem matemática, a velocidade depende explicitamente do tempo. Se chamar a velocidade de fluxo de \mathbf{v}, a condição de não permanência é que
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}\neq\mathbf{0}.
Aqui \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo — ela mede como a velocidade muda em cada ponto do espaço ao longo do tempo.
  • Uniforme: significa que, para cada instante de tempo, a velocidade é a mesma em todos os pontos do espaço (não há variação espacial). Matematicamente, a velocidade não depende da coordenada espacial \mathbf{x}. Ou seja
\mathbf{v}(\mathbf{x},t)=\mathbf{V}(t),
onde \mathbf{V}(t) é uma função apenas do tempo. Em termos de derivadas espaciais isso significa
\nabla \mathbf{v}=\mathbf{0}\quad\text{(ou, em 1D, }\partial \mathbf{v}/\partial x=\mathbf{0}\text{).}

Passo 3

Como testar se um candidato a exemplo é válido na prova (receita passo a passo que dá ponto fácil):
  1. Escreva a velocidade como função explícita \mathbf{v}(\mathbf{x},t).
  2. Verifique que a derivada temporal não é nula: \partial\mathbf{v}/\partial t\neq\mathbf{0}. Isso garante não permanência.
  3. Verifique que a dependência espacial é nula: \partial\mathbf{v}/\partial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Isso garante uniformidade.
    Se as duas condições forem verdadeiras, o exemplo é bom.

Passo 4

Vou dar o exemplo matemático mais direto e fácil de justificar na prova: um escoamento plug (isto é, velocidade constante no espaço) cuja velocidade varia com o tempo. Escrevo, em 1D para ficar simples,
v(x,t)=V_0\sin(\omega t),
onde V_0 e \omega são constantes positivas. Interpretação: em todo ponto x do domínio a velocidade tem o mesmo valor no mesmo instante t, mas esse valor oscila no tempo.

Passo 5

Agora aplico a receita do Passo 3 a esse exemplo:
  • Dependência temporal:
\frac{\partial v}{\partial t}=V_0\omega\cos(\omega t),
que não é identicamente zero (exceto em instantes isolados). Logo o escoamento é não permanente / transiente.
  • Dependência espacial:
\frac{\partial v}{\partial x}=0,
pois não há x na expressão. Logo o escoamento é uniforme espacialmente.
Portanto \displaystyle v(x,t)=V_0\sin(\omega t) é um exemplo simples e correto de escoamento não permanente e uniforme.

Passo 6

Vou dar a versão vetorial e uma interpretação física curta, para você poder escrever isso bonitinho na prova: em 3D pode-se escrever
\mathbf{v}(\mathbf{x},t)=V(t)\,\hat{\mathbf{i}},
com V(t)=V_0\sin(\omega t). Isso representa um “plug flow” (perfil plano) que acelera e desacelera no tempo, mantendo a mesma velocidade em toda a seção/posição.
Fisicamente, um cenário aproximado: um duto longo e estreito onde uma bomba faz a vazão oscilar no tempo e o escoamento é bem aproximado por plug flow (perfil praticamente uniforme na seção) — idealização frequente em exercícios.

Passo 7

Observações importantes para a prova (o que avaliador pode pedir):
  • Justifique explicitamente as duas derivações ( \partial/\partial t e \partial/\partial x). Mostrar essas duas operações é o jeito mais direto de ganhar pontos.
  • Se o avaliador exigir conservação de massa: para fluido incompressível e domínio ilimitado, \nabla\cdot\mathbf{v}=0 é satisfeito porque \mathbf{v} não varia no espaço. Em domínios com fronteiras, mencione que variações temporais exigem ajuste nas condições de contorno (entrada/saída) ou compressibilidade local; mas para um exemplo idealizado isso normalmente não é cobrado.
  • Se quiser variar o exemplo, qualquer V(t) não constante funciona (por exemplo V(t)=V_0(1+t/T) ou V(t)=V_0 e^{-t/\tau}).

Passo 8

Motivação e incentivo rápido: escolher exemplos do tipo “plug flow com V(t) qualquer não-constante” é a forma mais segura na prova: é simples de escrever, fácil de justificar com derivadas e evita discussões complicadas sobre perfis de velocidade ou efeitos de parede. Vai tranquilo que isso costuma dar ponto rápido.

Resposta

Um escoamento plug (uniforme no espaço) com velocidade temporalmente variável, por exemplo v(x,t)=V_0\sin(\omega t) (ou vetorialmente \mathbf{v}(\mathbf{x},t)=V_0\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}).

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