Numa classe há x meninas e 2 y meninos, com \mathrm{x}, \mathrm{y} lge 4 . Se duas meninas se retirarem da classe, o número de meninos ficará igual ao dobro do número de meninas. A direção do colégio deseja formar duas comissões entre os alunos da classe, uma com exatamente 3 meninas e outra com exatamente 2 meninos. Sabendo-se que, nessa classe, o número de comissões que podem ser formadas com 3 meninas é igual ao número de comissões que podem ser formadas com dois meninos, determine o número de alunos da classe.

Passo 1

O enunciado diz que há x meninas e 2y meninos, com x,y\ge4. Se duas meninas saem, restam x-2 meninas e ainda 2y meninos, e nesses números vale
2y = 2\,(x-2).
Além disso, o número de comissões de 3 meninas é igual ao número de comissões de 2 meninos:
\binom{x}{3} = \binom{2y}{2}.
O objetivo é achar x e y e, a partir daí, o total de alunos x+2y.

Passo 2

Da relação 2y = 2(x-2) vem
y = x - 2.

Passo 3

Substituindo y = x-2 em \binom{x}{3} = \binom{2y}{2}, obtemos
\binom{x}{3} = \binom{2(x-2)}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x(x-1)(x-2)}{6} = \frac{(2x-4)(2x-5)}{2}.
Multiplicando por 6 e simplificando, chega-se à equação
x^3 -15x^2 +56x -60 = 0.

Passo 4

Fatorando x^3 -15x^2 +56x -60 por tentativa de raízes inteiras, encontramos raízes x=2,3,10. Como x\ge4, a única solução válida é
x = 10.

Passo 5

Como y = x-2, temos y = 8. Logo há 10 meninas e 2y = 16 meninos. O total de alunos é
10 + 16 = 26.

Resposta

O número de alunos da classe é 26.

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