Uma classe tem n alunos. Precisamos formar uma equipe com eles, incluindo pelo menos dois estudantes e excluindo pelo menos dois. Qual é o número
de maneiras de formar a equipe?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma turma com alunos e queremos montar uma equipe que tenha pelo menos 2 alunos e deixe de fora pelo menos 2 alunos. A matéria aqui é Combinatória, mais especificamente o uso de coeficientes binomiais (combinações) e a identidade da soma de todas as combinações ( ). Para resolver, vamos usar:
  • o total de subconjuntos de um conjunto de elementos, que é ;
  • e depois eliminar aquelas seleções que não atendem às condições (ou seja, com tamanho ou ).

Passo 2

Primeiro, lembra que todo subconjunto de alunos pode ser contado por
sumk=0^n binomnk ;=; 2^n
Isso inclui equipes de tamanho 0 (nenhum aluno), 1, 2, … até .

Passo 3

Agora, queremos tirar do total as equipes inválidas:
  1. Equipes com menos de 2 alunos: tamanhos 0 e 1.
  2. Equipes com mais de alunos, ou seja, tamanhos e .
O número de equipes de tamanho 0 é , de tamanho 1 é , de tamanho é e de tamanho é .

Passo 4

Somando as inválidas:
binomn0 + binomn1 + binomnn-1 + binomnn = 1 + n + n + 1 = 2n + 2
Agora é só subtrair do total válidas = 2^n ;-;(2n + 2) :
á

Resposta

boxed2^n ;-; 2n ;-; 2

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