Uma classe tem
alunos. Precisamos formar uma equipe com eles, incluindo pelo menos dois estudantes e excluindo pelo menos dois. Qual é o número
de maneiras de formar a equipe?
de maneiras de formar a equipe?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma turma com
alunos e queremos montar uma equipe que tenha pelo menos 2 alunos e deixe de fora pelo menos 2 alunos. A matéria aqui é Combinatória, mais especificamente o uso de coeficientes binomiais (combinações) e a identidade da soma de todas as combinações (
). Para resolver, vamos usar:
- o total de subconjuntos de um conjunto de
elementos, que é ; - e depois eliminar aquelas seleções que não atendem às condições (ou seja, com tamanho
ou ).
Passo 2
Primeiro, lembra que todo subconjunto de alunos pode ser contado por
Isso inclui equipes de tamanho 0 (nenhum aluno), 1, 2, … até
.
Passo 3
Agora, queremos tirar do total as equipes inválidas:
- Equipes com menos de 2 alunos: tamanhos 0 e 1.
- Equipes com mais de
alunos, ou seja, tamanhos e .
O número de equipes de tamanho 0 é
, de tamanho 1 é
, de tamanho
é
e de tamanho
é
.
Passo 4
Somando as inválidas:
Agora é só subtrair do total
: