Para f de classe C^1 de uma variável, considere a função u(x, y)=f(x^2+y^2). Verifique que
y ux=x uy

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para u(x,y)=f(x²+y²) com f sendo C¹ de uma variável, vale a relação y u_x = x u_y usando derivadas parciais.

Passo 2

Como o ponto principal aqui é a regra da cadeia em derivadas parciais, definimos s = x² + y² e escrevemos u(x,y) = f(s).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, temos u_x = f’(s)·∂s/∂x e u_y = f’(s)·∂s/∂y.

Passo 4

Calculamos ∂s/∂x = 2x e ∂s/∂y = 2y. Logo,
ux = 2x,f'(x^2+y^2)
uy = 2y,f'(x^2+y^2)

Passo 5

Multiplicando u_x por y e u_y por x, obtemos
y,ux = ycdot2x,f'(x^2+y^2)=2xy,f'(x^2+y^2)
x,uy = xcdot2y,f'(x^2+y^2)=2xy,f'(x^2+y^2)

Passo 6

Como as duas expressões são iguais, concluímos a relação desejada.

Resposta

y,ux = x,uy

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