Para
de classe
de uma variável, considere a função
. Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para u(x,y)=f(x²+y²) com f sendo C¹ de uma variável, vale a relação y u_x = x u_y usando derivadas parciais.
Passo 2
Como o ponto principal aqui é a regra da cadeia em derivadas parciais, definimos s = x² + y² e escrevemos u(x,y) = f(s).
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, temos u_x = f’(s)·∂s/∂x e u_y = f’(s)·∂s/∂y.
Passo 4
Calculamos ∂s/∂x = 2x e ∂s/∂y = 2y. Logo,
Passo 5
Multiplicando u_x por y e u_y por x, obtemos
Passo 6
Como as duas expressões são iguais, concluímos a relação desejada.