Sejam
& f(x, y, z)=3 x^2-2 x y+4 z^2, & x=x(t, s)=e^t sen s, & y=y(t, s)=e^t cos s, & z=z(t, s)=e^t
Calcule partial f / partial t.

Passo 1

Vamos entender a questão: temos a função de três variáveis f(x,y,z)=3x^2-2xy+4z^2 e as parametrizações x=e^tsin s, y=e^tcos s, z=e^t. Precisamos calcular partial f/partial t aplicando a regra da cadeia em funções multivariáveis.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y, z. Assim, derivando f(x,y,z)=3x^2-2xy+4z^2:
fx = partial fpartial x=6x-2y, fy = partial fpartial y=-2x, fz = partial fpartial z=8z

Passo 3

Agora derivamos as funções x(t,s), y(t,s), z(t,s) em relação a t:
xt=partial xpartial t=e^tsin s, yt=partial ypartial t=e^tcos s, zt=partial zpartial t=e^t

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para partial f/partial t:
partial fpartial t = fxcdot xt + fycdot yt + fzcdot zt

Passo 5

Substituímos fx,fy,fz e xt,yt,zt em termos de t,s e simplificamos:
partial fpartial t = (6x-2y)e^tsin s + (-2x)e^tcos s + (8z)e^t =6e^2tsin^2 s -4e^2tsin scos s +8e^2t = e^2tl(6sin^2 s -4sin scos s +8r)

Resposta

partial fpartial t=e^2tl(6sin^2 s -4sin scos s +8r).

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