Classicamente, o momento angular de uma partícula de massa
se movendo é definido como:
Fazendo o produto vetorial encontramos:
a) Transforme as componentes do momento angular clássico em seus correspondentes quânticos.
b) Mostre que as componentes do momento angular não comutam entre si, isto é:
b) Mostre que as componentes do momento angular não comutam entre si, isto é:
Passo 1
O enunciado pede (a) substituir as componentes clássicas
pelos operadores quânticos
, e (b) mostrar que
O conteúdo envolve a quantização canônica (
) e cálculo de comutadores usando
Passo 2
A regra de quantização canônica manda trocar cada
pelo operador “multiplicação por
” e cada
por
Logo
Passo 3
Substituindo
obtemos em forma diferencial:
Passo 4
Para calcular comutadores usamos
e as relações básicas
além de
.
Passo 5
Vamos calcular detalhadamente
Expandindo e usando que só sobrevêm termos onde
e
com mesmo índice não comutam, achamos
Passo 6
Pela mesma lógica, basta permutar ciclicamente
para obter
Resposta
(a)
com .
com
(b)