Classicamente, o momento angular de uma partícula de massa m se movendo é definido como:
l L=r times p r=x i+y j+z k p=px i+py j+pz k
Fazendo o produto vetorial encontramos:
Lx & =y pz-z py Ly & =z px-x pz Lz & =x py-y px
a) Transforme as componentes do momento angular clássico em seus correspondentes quânticos.
b) Mostre que as componentes do momento angular não comutam entre si, isto é:
l [Ly, Lz]=i hbar Lx [Lz, Lx]=i hbar Ly [Lx, Ly]=i hbar Lz

Passo 1

O enunciado pede (a) substituir as componentes clássicas
Lx = y,pz - z,py, Ly = z,px - x,pz, Lz = x,py - y,px
pelos operadores quânticos hat Li, e (b) mostrar que
[hat Ly,hat Lz]=ihbar,hat Lx, [hat Lz,hat Lx]=ihbar,hat Ly, [hat Lx,hat Ly]=ihbar,hat Lz
O conteúdo envolve a quantização canônica ( hat pj=-ihbarpartial/partial xj) e cálculo de comutadores usando
[xi,pj]=ihbar,de<aij, [xi,xj]=0, [pi,pj]=0

Passo 2

A regra de quantização canônica manda trocar cada xi pelo operador “multiplicação por xi” e cada pj por
hat pj = -,ihbar,partialpartial xj
Logo
hat Lx = y,hat pz ;-; z,hat py, hat Ly = z,hat px ;-; x,hat pz, hat Lz = x,hat py ;-; y,hat px

Passo 3

Substituindo hat pj=-ihbarpartialxj obtemos em forma diferencial:
hat Lx = -,ihbarl(y,partialpartial z-z,partialpartial yr), hat Ly = -,ihbarl(z,partialpartial x-x,partialpartial zr), hat Lz = -,ihbarl(x,partialpartial y-y,partialpartial xr)

Passo 4

Para calcular comutadores usamos
[A,B]=AB-BA
e as relações básicas
[xi,pj]=ihbar,de<aij, [xi,xj]=0, [pi,pj]=0,
além de [A,BC]=[A,B]C + B[A,C].

Passo 5

Vamos calcular detalhadamente
[hat Ly,hat Lz] =l[z,hat px - x,hat pz,;x,hat py - y,hat pxr]
Expandindo e usando que só sobrevêm termos onde xi e pi com mesmo índice não comutam, achamos
[hat Ly,hat Lz] =-ihbar,z,hat py ;+;ihbar,y,hat pz ;=;ihbar,(y,hat pz - z,hat py) ;=;ihbar,hat Lx

Passo 6

Pela mesma lógica, basta permutar ciclicamente (x,y,z) para obter
[hat Lz,hat Lx]=ihbar,hat Ly, [hat Lx,hat Ly]=ihbar,hat Lz

Resposta

(a)
hat Lx = y,hat pz - z,hat py, hat Ly = z,hat px - x,hat pz, hat Lz = x,hat py - y,hat px,
com hat pj=-ihbar,partial/partial xj.
(b)
[hat Ly,hat Lz]=ihbar,hat Lx, [hat Lz,hat Lx]=ihbar,hat Ly, [hat Lx,hat Ly]=ihbar,hat Lz

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