Exercício 1) Ache a equação do plano tangente e equação da reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
x^2+y^2+z^2=49, P0=(6,2,3);

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^2+y^2+z^2=49
e pede a equação do plano tangente e da reta normal no ponto P0=(6,2,3). Reconhecemos que esta superfície é o nível de
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-49
e que o vetor normal a ela em qualquer ponto é o gradiente nabla F. Usaremos nabla F(P0) para definir o plano tangente e a direção da reta normal.

Passo 2

Calculamos o gradiente de
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-49
que é
nabla F(x,y,z)=(2x,,2y,,2z)
Em P0=(6,2,3) temos
nabla F(P0)=(2cdot6,,2cdot2,,2cdot3)=(12,4,6)

Passo 3

A equação do plano tangente é dada por
nabla F(P0)cdotl((x,y,z)-(6,2,3)r)=0
Substituindo nabla F(P0)=(12,4,6) resulta
12(x-6)+4(y-2)+6(z-3)=0,
que simplificando (dividindo por 2) fica
6x+2y+3z-49=0

Passo 4

A reta normal passa por P0=(6,2,3) na direção do vetor normal nabla F(P0)=(12,4,6). Na forma paramétrica:
x=6+12t, y=2+4t, z=3+6t
Na forma simétrica:
x-612=y-24=z-36

Resposta

Plano tangente:
6x+2y+3z-49=0
Reta normal:
x=6+12t, y=2+4t, z=3+6t

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