Considere a sequência ann >= 1 definida por a1=raiz2 e an+1=raiz2+an, n >= 1.
a) Mostre que an<2, para n >= 1.
b) Mostre que (an+1)^2-(an)^2=(2-an)(1+an), para n >= 1.
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
d) Ela é convergente? Justifique! Caso afirmativo, encontre o valor do limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência ann>=1 por
a1 = raiz2, an+1 = raiz2 + an(n>=1)
Pede-se:
(a) provar que an<2 para todo n;
(b) mostrar que
(an+1)^2 - (an)^2 = (2 - an)(1 + an);
(c) decidir se a sequência é monótona;
(d) decidir se ela converge e, em caso positivo, encontrar o limite.

Passo 2

Prova de an<2 por indução em n:
Base ( n=1):
a1 = raiz2 < 2
Passo indutivo: suponha ak < 2. Então
ak+1 = raiz2 + ak < raiz2 + 2 = raiz4 = 2
Logo ak+1<2. Por indução, an<2 para todo n>=1.

Passo 3

Cálculo de (an+1)^2 - (an)^2:
(an+1)^2 = 2 + an, (an)^2 = an^2
Subtraindo,
(an+1)^2 - (an)^2 = (2 + an) - an^2 = 2 - an^2 + an = (2 - an)(1 + an)

Passo 4

Monotonicidade: como an<2 e an>0, tem-se
(2 - an) > 0 e (1 + an)>0,
logo
(an+1)^2 - (an)^2 = (2 - an)(1 + an) > 0
Como todos os an são positivos, isso implica
an+1 > an forall n,
isto é, an é estritamente crescente.

Passo 5

Convergência e limite:
– Como an é crescente e limitada superiormente por 2, ela converge por Teorema do Monotone Convergence.
– Seja L=limntoinftyan. Tomando limite na recorrência an+1=raiz2+an obtemos
L = raiz2 + L Longrightarrow L^2 = 2 + L Longrightarrow L^2 - L - 2 = 0
As raízes são L=2 ou L=-1; mas como an>0, fica L=2.

Resposta

(a) an<2 para todo n.
(b) (an+1)^2-(an)^2=(2-an)(1+an).
(c) A sequência é estritamente crescente.
(d) Sim, ela converge; e limntoinftyan=2.

Exercícios relacionados