Considere a sequência
definida por
e
.
a) Mostre que
, para
.
b) Mostre que
, para
.
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
d) Ela é convergente? Justifique! Caso afirmativo, encontre o valor do limite.
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
d) Ela é convergente? Justifique! Caso afirmativo, encontre o valor do limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Pede-se:
(a) provar que para todo
;
(b) mostrar que
(a) provar que
(b) mostrar que
(c) decidir se a sequência é monótona;
(d) decidir se ela converge e, em caso positivo, encontrar o limite.
(d) decidir se ela converge e, em caso positivo, encontrar o limite.
Passo 2
Prova de
por indução em
:
– Base (
):
– Passo indutivo: suponha
. Então
Logo
. Por indução,
para todo
.
Passo 3
Cálculo de
:
Subtraindo,
Passo 4
Monotonicidade: como
e
, tem-se
logo
Como todos os
são positivos, isso implica
isto é,
é estritamente crescente.
Passo 5
Convergência e limite:
– Como é crescente e limitada superiormente por
, ela converge por Teorema do Monotone Convergence.
– Seja . Tomando limite na recorrência
obtemos
– Como
– Seja
As raízes são
ou
; mas como
, fica
.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) .
(c) A sequência é estritamente crescente.
(d) Sim, ela converge; e .
(b)
(c) A sequência é estritamente crescente.
(d) Sim, ela converge; e