Classificação de Escoamentos - Exemplo

Para um campo de velocidade 2-D, permanente e incompressível, encontre uma solução analítica para o campo de velocidade descrito por \vec{V}=\left(\frac{V_{0}}{I}\right)(-x \hat{i}+y \hat{j})

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução analítica (potencial de velocidade e função de corrente) para o campo de velocidade 2-D, estacionário e incompressível
\vec{V} = \frac{V_{0}}{I}\bigl(-x\,\hat{i} + y\,\hat{j}\bigr).
O conteúdo envolve fluxos potenciais (irrotacionais) e o uso do potencial de velocidade \varphi e da função de corrente \psi.

Passo 2

Verificamos a incompressibilidade calculando a divergência
\nabla\cdot\vec{V} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{V_{0}}{I}x\Bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{V_{0}}{I}y\Bigr) = -\frac{V_{0}}{I} + \frac{V_{0}}{I} = 0.
Como \nabla\cdot\vec{V}=0, o fluxo é de fato incompressível.

Passo 3

Verificamos a irrotacionalidade calculando o rotacional em 2-D
\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{V_{0}}{I}y\Bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{V_{0}}{I}x\Bigr) = 0 - 0 = 0.
Como \omega_z=0, existe potencial de velocidade \varphi.

Passo 4

Definimos \varphi tal que
u = \frac{\partial \varphi}{\partial x},\quad v = \frac{\partial \varphi}{\partial y}.
Integrando u = -\frac{V_{0}}{I}x em relação a x:
\varphi(x,y) = -\frac{V_{0}}{I}\,\frac{x^2}{2} + g(y).
Para satisfazer v = \partial\varphi/\partial y = \tfrac{V_{0}}{I}y, temos g'(y)=\tfrac{V_{0}}{I}y, logo
g(y) = \frac{V_{0}}{I}\,\frac{y^2}{2} + C.
Desprezando a constante,
\varphi(x,y) = \frac{V_{0}}{2I}\bigl(y^2 - x^2\bigr).

Passo 5

Definimos \psi tal que
u = -\frac{\partial \psi}{\partial y},\quad v = \frac{\partial \psi}{\partial x}.
Integrando v = \tfrac{V_{0}}{I}y em relação a x:
\psi(x,y) = \frac{V_{0}}{I}\,x\,y + h(y).
Para satisfazer -\partial\psi/\partial y = u = -\tfrac{V_{0}}{I}x, precisamos de h'(y)=0. Assim
\psi(x,y) = \frac{V_{0}}{I}\,x\,y.

Passo 6

Este escoamento é conhecido como fluxo de ponto de estagnação planar ou fluxo de deformação pura (stagnation‐point flow):
  • É incompressível e irrotacional.
  • Linhas de corrente são hipérboles \psi=\mathrm{const}.
  • Equipotenciais são retas quadráticas \varphi=\mathrm{const}.

Resposta

Potencial de velocidade:
\varphi(x,y) = \frac{V_{0}}{2I}\bigl(y^2 - x^2\bigr).
Função de corrente:
\psi(x,y) = \frac{V_{0}}{I}\,x\,y.
Classificação do escoamento: fluxo de ponto de estagnação planar (irrotacional, deformação pura).

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