Um vaso de pressão contendo argônio inicialmente à pressão atmosférica e temperatura ambiente ( 300 K ) é enchido adiabaticamente com uma corrente a 10 bar e 300 K . A capacidade calorífica isobárica molar de um gás ideal monoatômico é igual a 2,5 R, sendo R a constante universal dos gases ( R=8,314 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ).
a) Qual a temperatura no final do enchimento?
b) Qual o calor por quantidade de matéria necessário para resfriar à temperatura inicial o gás contido no vaso ao final do enchimento?

Passo 1

O enunciado descreve um preenchimento adiabático de um volume rígido inicialmente cheio de argônio a P_{1}=1\\ \text{bar} e T_{1}=300\\ \text{K}. Gás entra até que a pressão final seja P_{2}=10\\ \text{bar}, com a corrente de alimentação a T_{\text{in}}=300\\ \text{K}. Para um gás monoatômico ideal temos
c_{p}=2{,}5\,R, \quad c_{v}=c_{p}-R=1{,}5\,R,
com R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. Vamos usar balanço de energia para sistema aberto (massa entra, sem calor e sem trabalho).

Passo 2

Seja m_{1} a massa inicial e m_{2} a massa final no vaso. A massa que entra é \Delta m=m_{2}-m_{1}. O balanço de energia (sem calor e sem trabalho) dá
U_{2}-U_{1} = \underbrace{(m_{2}-m_{1})}_{\Delta m}\,h_{\text{in}}
onde h_{\text{in}}=c_{p}\,T_{\text{in}}. Como U=m\,c_{v}\,T, isso vira
m_{2}c_{v}T_{2}-m_{1}c_{v}T_{1} =(m_{2}-m_{1})\,c_{p}\,T_{1}.

Passo 3

Substituindo c_{p}=2{,}5R e c_{v}=1{,}5R na expressão do passo anterior:
m_{2}\,(1{,}5R)\,T_{2} - m_{1}\,(1{,}5R)\,T_{1} = (m_{2}-m_{1})\,(2{,}5R)\,T_{1}.
Dividindo por R e rearranjando,
1{,}5\,m_{2}\,T_{2} = 2{,}5\,m_{2}\,T_{1} - 1\,m_{1}\,T_{1}.

Passo 4

Para relacionar m_{1} e m_{2} usamos a equação de estado do gás ideal em volume constante V:
m_{1}=\frac{P_{1}V}{R\,T_{1}}, \quad m_{2}=\frac{P_{2}V}{R\,T_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{m_{1}}{m_{2}} =\frac{P_{1}T_{2}}{P_{2}T_{1}}.
Definindo x=T_{2}/T_{1}, da equação do passo anterior obtemos
1{,}5\,m_{2}\,T_{1}\,x = 2{,}5\,m_{2}\,T_{1} - m_{1}\,T_{1} \quad\Longrightarrow\quad 1{,}5\,x = 2{,}5 - \frac{m_{1}}{m_{2}} = 2{,}5 - \frac{P_{1}}{P_{2}}\,x.
Logo
\bigl(1{,}5+\tfrac{P_{1}}{P_{2}}\bigr)x =2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x =\frac{2{,}5}{1{,}5 + \tfrac{1}{10}} =\frac{2{,}5}{1{,}6} =1{,}5625.

Passo 5

Daí T_{2}=x\,T_{1}=1{,}5625\times300\\ \text{K}=468{,}75\\ \text{K}. Arredondando,
\boxed{T_{2}\approx469\\ \text{K}}.

Passo 6

Para resfriar o gás final de volta a T_{1}=300\\ \text{K} (processo à volume constante) é preciso retirar calor
Q =m_{2}\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}).
Por mol de gás final, q=Q/m_{2}=c_{v}(T_{2}-T_{1}). Logo
q =1{,}5\,R\,(468{,}75-300) =1{,}5\times8{,}314\times168{,}75 \approx2{,}10\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.
Assim,
\boxed{q\approx2{,}1\\ \mathrm{kJ\\ per\\ mol}.}

Resposta

a) T_{2}\approx469\\ \mathrm{K}.
b) q\approx2{,}1\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.

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